Soient deux suites \suite{u}{n}{} et \suite{v}{n}{} telles que :
\[ u_0=v_0=\dfrac{1}{2}\qquad;\qquad\forall n\in\N,\ \left\lbrace\begin{array}{l}
u_{n+1}=0,6u_n+0,3v_n\\
v_{n+1}=0,4u_n+0,7v_n
\end{array} \right.\]

On pose alors pour tout entier naturel $n$ :
\[
\left\lbrace
\begin{array}{l}
a_n=u_n+v_n\\
b_n=4u_n-3v_n
\end{array}
\right.
\]

\begin{enumerate}
\item Montrer que \suite{a}{n}{} est constante.
\item Montrer que \suite{b}{n}{} est une suite géométrique dont on donnera le premier terme et la raison.
\item En déduire l'expression de $u_n$ en fonction de $n$, puis celle de $v_n$ en fonction de $n$.
\item Démontrer que \suite{u}{n}{} converge et donner sa limite.
\end{enumerate}

