Pour un réel $a$ strictement positif quelconque, on considère la suite \suite{u}{n}{} définie pour tout entier naturel $n$ par :
\[
\begin{cases}
u_0 & > 0\\
u_{n+1} & = \dfrac{1}{2}\left(u_n + \dfrac{a}{u_n}\right)
\end{cases}
\]
\begin{enumerate}
\item Compléter la fonction Python (page suivante) afin que l'instruction :

\begin{console}
>>> heron(4,7,20)
\end{console}

retourne les $n+1$ premiers termes de la suite \suite{u(4)}{n}.

\begin{python}
def heron(a,u,n):
    if u <=0:
        return "Le premier terme doit être strictement positif."
    elif a <= 0:
        return "La valeur de 'a' doit être strictement positive."
    else:
        L = [ ... ]
        k = 0
        while k < ...:
            u = ...
            L.append(...)
            k = ...
        return ...
\end{python}

\item L'instruction renvoie alors la liste suivante:
\begin{console}
[7, 3.7857142857142856, 2.4211590296495955, 2.0366301688743387, 2.0003294091613366, 2.0000000271231317, 2.0, 2.0, 2.0, 2.0, 2.0, 2.0, 2.0, 2.0, 2.0, 2.0, 2.0, 2.0, 2.0, 2.0, 2.0]
\end{console}

Faites deux conjectures à partir de ces valeurs.
\end{enumerate}

On se propose d'étudier mathématiquement la suite $\suite{u}{n}{}$ pour une valeur de $a>0$.

Pour cela, on introduit la fonction $f$ définie pour tout réel $x$ strictement positif par :
\[ 
f(x)=\dfrac{1}{2}\left(x + \frac{a}{x}\right)
\]

\begin{enumerate}[start=3]
\item Calculer $f'(x)$, puis donner les variations de $f$ sur \intervOO{0}{+\infty} en fonction de $a$.
\item En déduire que $u_1 \geqslant \sqrt{a}$, quelle que soit la valeur de $u_0 > 0$.
\item Montrer que pour tout réel $x \geqslant \sqrt{a}$, $f(x) \leqslant x$.
\item Montrer alors par récurrence que pour tout entier naturel $n\geqslant1$, $\sqrt{a} \leqslant u_{n+1} \leqslant u_n$.
\item Déduire que \suite{u}{n}{} converge. On note $\ell$ sa limite.
\item On admet que $\ell=f(\ell)$. Déterminer alors la limite de \suite{u}{n}.
\end{enumerate}

