On considère les suites $\left(u_n\right)$ et $\left(v_n\right)$ définies pour tout entier naturel $n$ par : 
\[
\begin{cases}
u_0	= v_0 = 1\\
u_{n+1}	=  u_n +v_n\\
v_{n+1}	=  2u_n + v_n
\end{cases}
\]

Dans toute la suite de l'exercice, on \textbf{admet} que les suites $\left(u_n\right)$ et $\left(v_n\right)$ \textbf{sont strictement positives}.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item Calculez $u_1$ et $v_1$.
\item Démontrer que la suite \suite{v}{n}{} est strictement croissante, puis en déduire que, pour tout entier naturel $n$, $v_n \geqslant 1$.
\item Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_n \geqslant  n + 1$.
\item En déduire la limite de la suite \suite{u}{n}{}.
\end{enumerate}

\item On pose, pour tout entier naturel $n$ :
\[
r_n = \dfrac{v_n}{u_n}.
\]

On admet que:

\[r_n^2 = 2 + \dfrac{(- 1)^{n+1}}{u_n^2}\]

	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que pour tout entier naturel $n$ :

\[- \dfrac{1}{u_n^2} \leqslant \dfrac{(- 1)^{n+1}}{u_n^2} \leqslant \dfrac{1}{u_n^2}.\]
		\item En déduire :

\[\displaystyle\lim_{n \to + \infty} \dfrac{(- 1)^{n+1}}{u_n^2}.\]

		\item Déterminer la limite de la suite $\left(r_n^2\right)$ et en déduire que $\left(r_n\right)$ converge vers $\sqrt{2}$.
		\item  Démontrer que pour tout entier naturel $n$,

\[r_{n+1} = \dfrac{2 + r_n}{1 + r_n}.\]

		\item On considère le programme suivant écrit en langage Python :
\begin{python}
def seuil():
    n = 0
    r = 1
    while abs( r - sqrt(2) ) > 10**(-4):
        r = (2 + r) / (1 + r)
        n = n + 1
    return n
\end{python}


(\og \texttt{abs} \fg{} désigne la valeur absolue, \texttt{sqrt} la racine carrée et \texttt{10**(-4)} représente $10^{-4}$).

La valeur de $n$ renvoyée par ce programme est 5.

À quoi correspond-elle ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

