
\begin{enumerate}
\item $\begin{aligned}[t]
v_{n+1} & = u_{n+1}+\text{Q}(n+1)\\
& = \lambda u_n + \text{P}(n) + \text{Q}(n+1)\\
& = \lambda\left(u_n+\dfrac{1}{\lambda}\text{P}(n)+\dfrac{1}{\lambda}\text{Q}(n+1)\right).
\end{aligned}$

Ainsi, $\begin{aligned}[t]
\suite{v}{n}{}\text{ est une suite géométrique}&  \iff u_n+\dfrac{1}{\lambda}\text{P}(n)+\dfrac{1}{\lambda}\text{Q}(n+1)=v_n\\
& \iff \dfrac{1}{\lambda}\text{P}(n)+\dfrac{1}{\lambda}\text{Q}(n+1)=\text{Q}(n)\\
& \iff \text{P}(n)=\lambda\text{Q}(n)-\text{Q}(n+1).
\end{aligned}$

\item Posons $\text{Q}(n)=\alpha n+\beta$.\\
D'après la question précédente, pour tout entier nature $n$,
\begin{align*}
& \text{P}(n)=\lambda\text{Q}(n)-\text{Q}(n+1)\\
\iff\ & an+b = \lambda\alpha n+\lambda\beta -\alpha n -\alpha-\beta\\
\iff\ & (a+\alpha-\lambda\alpha)n+b+\alpha+\beta-\lambda\beta=0\\
\iff\ & \left\lbrace\begin{array}{l}
a+\alpha(1-\lambda)=0\\
b+\alpha+\beta(1-\lambda)=0
\end{array} \right.
\end{align*}
De la 1\iere{} équation, on déduit :
\[
\alpha=\dfrac{a}{\lambda-1}
\]
et de la 2\ieme{} équation, on tire :
\[
\beta=\dfrac{1}{\lambda-1}\left(b+\dfrac{a}{\lambda-1} \right).
\]
Ainsi,
\[
\text{Q}(n)=\dfrac{a}{\lambda-1}n+\dfrac{b}{\lambda-1}+\dfrac{a}{(\lambda-1)^2}.
\]

\item Nous savons que \suite{v}{n}{} est une suite géométrique de raison $\lambda$. Ainsi, $v_n=v_0\lambda^n$ pour tout entier naturel $n$.\\
Or, $v_0=u_0+Q(0)=u_0+\dfrac{b}{\lambda-1}+\dfrac{a}{(\lambda-1)^2}$, donc :
\[
\forall n\in\N,\ v_n=\left(u_0+\dfrac{b}{\lambda-1}+\dfrac{a}{(\lambda-1)^2}\right)\lambda^n.
\]
De plus, $v_n=u_n+\text{Q}(n)$, donc $u_n=v_n-\text{Q}(n)$. Ainsi,
\[
\forall n\in\N,\ u_n=\left(u_0+\dfrac{b}{\lambda-1}+\dfrac{a}{(\lambda-1)^2}\right)\lambda^n-\dfrac{a}{\lambda-1}n-\dfrac{b}{\lambda-1}-\dfrac{a}{(\lambda-1)^2}.
\]

\item Application : $u_{n+1}=2u_n-3n+7$ donc $\lambda=2$, $a=-3$ et $b=7$. D'après la question précédente, on a :
\[
\forall n\in\N,\ u_n=\left(5+\dfrac{7}{2-1}+\dfrac{-3}{(2-1)^2}\right)\times2^n-\dfrac{-3}{2-1}n-\dfrac{7}{2-1}-\dfrac{-3}{(2-1)^2}
\]
soit :
\[
\forall n\in\N,\ u_n=9\times2^n+3n-4.
\]
Vérifions sur les premiers termes :

\medskip

\begin{tikzpicture}
\node[inner sep = 0pt, outer sep = 0pt, fill = pagecorrige!20] (tab) {
\begin{tabular}{|>{\columncolor{numpagecorrige!30}}Sc|*2{>{\centering\arraybackslash}Sc|}}
\hline\rowcolor{numpagecorrige!30}
$n$ & Avec la formule de récurrence & Avec la formule trouvée\\
\hline
0 & $u_0=5$ par définition & $u_0=9\times2^0+3\times0-4=9-4=5$\\
\hline
1 & $u_1=2u_0-3\times0+7=10+7=17$ & $u_1=9\times2^1+3\times1-4=18+3-4=17$\\
\hline
2 & $u_2=2u_1-3\times1+7=34-3+7=38$ & $u_2=9\times2^2+3\times2-4=36+6-4=38$\\
\hline
\end{tabular}
};
\drawshadow{tab}{black}
\end{tikzpicture}
\end{enumerate}
