
Posons:
\[
\mathcal{P}_n\quad:\quad \forall n \geqslant 4, n\in\N, n! > n.
\]
Démontrons par récurrence que cette propriété est vraie.

\begin{itemize}
\item \textit{Initialisation.}

$4!=2\times3\times4=24$ et $4^2=16$ donc pour $n=4$, $n!>n^2$.

\item \textit{Hérédité.}

Supposons que pour un certain entier $k$ fixé supérieur ou égal à 4, $\mathcal{P}_k$ est vraie, c'est-à-dire que $k!>k^2$ (HR).

Démontrons alors que $(k+1)! > (k+1)^2$, soit $(k+1)! > k^2+2k+1$.
\begin{align*}
(k+1)! & = k! \times (k+1)\\
& > k^2 \times (k+1)\qquad\text{ d'après (HR)}
\end{align*} 
Il faudrait démontrer maintenant que $k^2(k+1) \geqslant (k+1)^2$.

On calcule alors:
\begin{align*}
k^2(k+1) - (k+1)^2 & = (k+1)\big[k^2 - (k+1) \big]\\
& = (k+1)(k^2-k-1)\\
& = (k+1)\big[ k(k-1) - 1 \big].
\end{align*}

$\forall k \geqslant 4$,
\[
\left.\begin{array}{r} k(k-1)-1 \geqslant 4\times3-1, \text{ soit }k(k-1)-1 \geqslant 11\\
k+1 \geqslant 5
\end{array}\right\}\Rightarrow (k+1)\big[ k(k-1) - 1 \big] \geqslant 55>0.
\]

\medskip

Donc $k^2(k+1) - (k+1)^2 \geqslant0$, soit $k^2(k+1) \geqslant (k+1)^2$.

Ainsi, $(k+1)! > (k+1)^2$. La propriété $\mathcal{P}_n$ est donc héréditaire.
\end{itemize}

D'après le principe de récurrence, on en déduit que $\mathcal{P}_n$ est vraie pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 4.
