
\begin{enumerate}
\item Supposons que pour un entier $k$ fixé, $4^k+1$ est divisible par 3. Alors, il existe un entier naturel $p$ tel que:
\[
4^k+1=3p.
\]

On a alors les implications suivantes:
\begin{align*}
& 4^k+1=3p\\
\Rightarrow & 4\times(4^k+1) = 4 \times 3p\\
\Rightarrow & 4^{k+1} + 4 = 12p\\
\Rightarrow & 4^{k+1} + 4 - 3 = 12p - 3\\
\Rightarrow & 4^{k+1} + 1 = 3(4p-1).
\end{align*}
Ainsi, $4^{k+1}+1$ est un multiple de 3, et donc $\mathcal{P}(k+1)$ est vraie.

\medskip

On dit que la propriété $\mathcal{P}$ est \textit{héréditaire}.

\item $\mathcal{P}(0)$ stipule que $4^0+1=2$ est un multiple de 3, ce qui est loin d'être vrai.

De même, $\mathcal{P}(1)$ stipule que $4^1+1=5$ est un multiple de 3, ce qui n'est pas le cas.

\medskip

Donc $\mathcal{P}(n)$ n'est pas vraie pour tout entier naturel $n$.

\item Ce qui précède nous permet de constater que ce n'est pas parce qu'une propriété est héréditaire qu'elle est tout le temps vraie.

Le principe de récurrence s'appuie d'ailleurs sur le fait qu'il est nécessaire de vérifier que la propriété est vraie pour un entier (généralement, le plus petit possible: c'est l'hérédité).

Donc il faut veiller à faire l'initialisation lors d'un raisonnement par récurrence sans quoi, le raisonnement est faux.
\end{enumerate}
