
\begin{enumerate}
\item On peut écrire :
\[
\dfrac{f(x)}{g(x)}=\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}\times\dfrac{x-a}{g(x)-g(a)}
\]
car $f(a)=g(a)=0$.

Or, $\limite{x}{a}{\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}}=f'(a)$ d'après la définition du nombre dérivé (vue en classe de première).

De même, $\limite{x}{a}{\dfrac{g(x)-g(a)}{x-a}}=g'(a)$ donc $\limite{x}{a}{\dfrac{x-a}{g(x)-g(a)}}=\dfrac{1}{g'(a)}$ ($g'(a)\neq0$ par hypothèses).

Ainsi,
\[
\limite{x}{a}{\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}\times\dfrac{x-a}{g(x)-g(a)}}=f'(a)\times\dfrac{1}{g'(a)}
\]
et donc :
\[
\boxed{\limite{x}{a}{\dfrac{f(x)}{g(x)}}=\dfrac{f'(a)}{g'(a)}}
\]

\item Posons $f(x)=\cos(5x)-\cos(3x)$ et $g(x)=\sin(4x)-\sin(3x)$. 

Alors, $f'(x)=-5\sin(5x)+3\sin(3x)$ et $g'(x)=4\cos(4x)-3\cos(3x)$. 

Ainsi, $f'(0)=0$ et $g'(0)=1$.

$f$ et $g$ vérifient toutes les conditions nécessaires pour utiliser la règle de l'Hospital donc :
\[
\boxed{\limite{x}{0}{\dfrac{\cos(5x)-\cos(3x)}{\sin(4x)-\sin(3x)}=0}}
\]
\end{enumerate}
