
\begin{enumerate}
\item $\limite{x}{0}{\dfrac{\e^x-1}{\e^{2x}-1}}$.
\begin{itemize}
\item $\limite{x}{0}{\big(\e^x-1\big)}=\e^0-1=1-1=0$
\item $\limite{x}{0}{\big(\e^{2x}-1\big)}=\e^0-1=1-1=0$
\end{itemize}
On a donc une forme indéterminée du type \og $\dfrac{0}{0}$ \fg{} donc on pense à faire apparaître un ou plusieurs taux d'accroissement.
\[
\dfrac{\e^x-1}{\e^{2x}-1} = \dfrac{\e^x-1}{x-0} \times \dfrac{x-0}{\e^{2x}-1}.
\]
\begin{itemize}
\item $\limite{x}{0}{\dfrac{\e^x-1}{x-0}} = \limite{x}{0}{\dfrac{u(x)-u(0)}{x-0}}=u'(0)=\e^0=1$ avec $u(x)=\e^x$ et donc $u'(x)=\e^x$;
\item $\limite{x}{0}{\dfrac{x-0}{\e^{2x}-1}}=\limite{x}{0}{\dfrac{x-0}{v(x)-v(0)}}=\dfrac{1}{v'(0)}=\dfrac{1}{2\e^0}=\dfrac{1}{2}$ avec $v(x)=\e^{2x}$ et donc $v'(x)=2\e^{2x}$.
\end{itemize}
On en déduit alors que:
\[
\boxed{ \limite{x}{0}{\dfrac{\e^x-1}{\e^{2x}-1}} = \dfrac{1}{2} }
\]

\item $\limite[x<1]{x}{1}{\dfrac{2\e^{x-1}}{\e^{x-1}-1}}$.

\begin{minipage}{0.5\linewidth}
\begin{itemize}
\item $\limite[x<1]{x}{1}{2\e^{x-1}}=2>0$
\item $\limite[x<1]{x}{1}{\big(\e^{x-1}-1\big)}=0^-$
\end{itemize}
\end{minipage}
\begin{minipage}{0.5\linewidth}
Ainsi, par quotient,
\[
\boxed{ \limite[x<1]{x}{1}{\dfrac{2\e^{x-1}}{\e^{x-1}-1}} = -\infty }
\]
\end{minipage}
\end{enumerate}
