La courbe $\mathcal{C}$ ci-dessous est celle d'une fonction $f$ telle que : 
\[ f(x)=ax^2+bx+c+\frac{d}{x^2+1}.\]
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\node[inner sep = 0pt, outer sep = 0pt, fill = white] (img) {
\begin{tikzpicture}
\draw[gray,dotted] (-4,-2) grid (3,6);
\draw[->,>=stealth'] (-4,0) -- (3,0);
\draw[->,>=stealth'] (0,-2) -- (0,6);
\clip (-4,-2) rectangle (3,6);
\draw[purple] plot[domain=-4:3,samples=100] (\x,{\x*\x+\x-1+2/(\x*\x+1)});
\node[purple] at (2.5,5.5) {$\mathcal{C}$};
\foreach \x in {-3,-2,-1,1,2}
{
	\draw (\x,.1) -- (\x,-.1) node[below] {$\x$};
}
\foreach \y in {-1,1,2,3,4,5}
{
	\draw (.1,\y) -- (-.1,\y) node[left] {$\y$};
}
\fill (1,2) circle (2pt) node[below right, outer sep = 3mm] {$C$};
\node[above,outer sep = 3mm] at (-1,0) {$A$};
\node[below right,outer sep = 1mm] at (0,1) {$B$};
\end{tikzpicture}};
\drawshadow{img}{black}
\end{tikzpicture}
\end{center}
On sait :
\begin{itemize}
\item Condition $(1)$ : que les points $A\coord{-1}{0}$, $B\coord{0}{1}$, $C\coord{1}{2}$ appartiennent à $\mathcal{C}$ ;
\item Condition $(2)$ : l'axe des abscisses est tangente à $\mathcal{C}$ au point $A$.
\end{itemize}



\begin{enumerate}
\item Exprimez en fonction de $a$, $b$, $c$ et $d$ la dérivée $f'(x)$ de $f(x)$.

Quelle équation peut-on alors écrire à partir de la condition $(2)$ ?

\item écrivez, en fonction de $a$, $b$, $c$ et $d$, les trois équations que permet d'établir la condition~$(1)$.

\item Trouvez alors, à l'aide des quatre équations établies, la valeur de $a$, $b$, $c$ et $d$.
\end{enumerate}

