
Posons $f(x)=3x^3-5x+1$.
\begin{itemize}
\item $\limite{x}{-\infty}{f(x)}=-\infty$.

$\limite{x}{+\infty}{f(x)}=+\infty$.

\item $f'(x)=9x^2-5$ d'où le tableau de variation suivant :
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\node[inner sep = 0pt, outer sep = 0pt] (tab) {
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[color,colorL=numpagecorrige!10,colorC=numpagecorrige!10,colorV=numpagecorrige!10]{$x$/1.3,$f'(x)$/0.7,$f$/1.5}{$-\infty$,$-\dfrac{\sqrt5}{3}$,$\dfrac{\sqrt5}{3}$,$+\infty$}
\tkzTabLine{,+,z,-,z,+}
\tkzTabVar{-/$-\infty$,+/${3,48}$,-/$-{1,48}$,+/$+\infty$}
\end{tikzpicture}};
\drawshadow{tab}{black}
\end{tikzpicture}
\end{center}
\[
f\left(-\dfrac{\sqrt5}{3}\right)\approx3,48\qquad ; \qquad f\left(\dfrac{\sqrt5}{3}\right)\approx-1,48.
\]
\item Notons $I_1=\intervOO{-\infty}{-\dfrac{\sqrt5}{3}}$, $I_2=\intervOO{-\dfrac{\sqrt5}{3}}{\dfrac{\sqrt5}{3}}$ et $I_3=\intervOO{\dfrac{\sqrt5}{3}}{+\infty}$.

$f$ est continue et strictement monotone sur $I_k$, $k=1,\ 2,\ 3$.

De plus, d'après les variations de $f$, $0\in f(I_k)$, $k=1,\ 2,\ 3$.

\medskip

Ainsi, d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires appliqué sur chacun des intervalles $I_k$, $k=1,\ 2,\ 3$, l'équation $f(x)=0$ admet une unique solution que chacun d'eux.

Donc l'équation $f(x)=0$ admet trois solutions réelles :
\begin{itemize}
\item $\alpha\approx-1,381$;
\item $\beta\approx0,205$;
\item $\gamma\approx1,176$.
\end{itemize}
\end{itemize}
