\partie{A}

On considère la fonction $u$ définie sur \intervFF{0}{\frac{1}{2}} par:
\[
u(x)=1+(x-1)\sqrt{1+x}.
\]
\begin{enumerate}
\item Montrer que $u'(x)=\dfrac{3x+1}{2\sqrt{1+x}}$.
\item En déduire les variations de $u$, puis le signe de $u(x)$ sur \intervFF{0}{\frac{1}{2}}.
\end{enumerate}

\partie{B}

On considère les fonctions $f$ et $g$ définies sur \intervFF{0}{\frac{1}{2}} par:
\[
f(x)=\sqrt{1+x} \qquad ; \qquad g(x)=1+\frac{1}{2}x-\frac{1}{4}x^2.
\]
On considère alors la fonction $d$ définie sur \intervFF{0}{1} par:
\[
d(x)=f(x)-g(x)
\]
\begin{enumerate}
\item Montrer que $d'(x)=\dfrac{u(x)}{2\sqrt{1+x}}$.
\item En déduire les variations de $d$ sur \intervFF{0}{\frac{1}{2}}. 

Dresser un tableau de variations complet. 

\item Pour $x\in\intervFF{0}{\frac{1}{2}}$, majorer l'erreur commise en approximant $f(x)$ par $g(x)$.

\item Proposer une méthode sans calculatrice pour approximer $\sqrt{4,5}$.
\end{enumerate}

