On considère la fonction $f$ définie par :
\[
f(x)=\dfrac{\e^x + \e^{-x}}{x}.
\]

\begin{enumerate}
\item Montrer que pour tout réel $x$ non nul, $f(-x)=-f(x)$.
\end{enumerate}

On se place alors sur l'intervalle \intervOO{0}{+\infty}.

\begin{enumerate}[start=2]
\item Calculer la limite de $f$ en $+\infty$.

\item En vous aidant de l'égalité : $\limite{x}{0}\dfrac{\e^x-1}{x}=1$, déterminer la limite de $f$ en 0.

\item Montrer que la dérivée de $f$ est : $f'(x)=\dfrac{(x-1)\e^{2x}-x-1}{x^2\e^x}$.

\item On pose $u(x)=(x-1)\e^{2x}-x-1$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que $u''(x)=4x\e^{2x}$.
\item En déduire que l'équation $u'(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ sur \intervFO{0}{+\infty}.
\item En déduire les variations de $u$ sur \intervFO{0}{+\infty}, puis que l'équation $u(x)=0$ admet une unique solution sur \intervFO{0}{+\infty}.
\end{enumerate}
\item Déduire de ce qui précède le sens de variations de $f$ sur \intervOO{0}{+\infty}.
\end{enumerate}

