\partie{A}
On considère la fonction $f$ définie sur $\R*$ par:
\[
f(x) = x - \e^{\frac{1}{x}}.
\]

\begin{enumerate}
\item Calculer:
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{4}
\item \limite{x}{-\infty}{f(x)}
\item \limite{x}{+\infty}{f(x)}
\item \limite[x<0]{x}{0}{f(x)}
\item \limite[x>0]{x}{0}{f(x)}
\end{multicols}
\end{enumerate}

\item Montrer que $f$ est strictement croissante sur $\intervOO{-\infty}{0}$ et sur \intervOO{0}{+\infty}.

\item Montrer que l'équation $f(x)=0$ admet une unique solution, notée $\alpha$, sur \intervOO{0}{+\infty}.

Donner une valeur approchée de $\alpha$ à $10^{-2}$ près.
\end{enumerate}

\partie{B}

On considère la suite \suite{u}{n}{n\in\N} telle que:
\[
\begin{cases}
u_0 = 3\\
u_{n+1} = \e^{\frac{1}{u_n}}
\end{cases}
\]
On admet que la suite converge.

\medskip

Montrer que $\limite{n}{+\infty}{u_n}=\alpha$, où $\alpha$ est la valeur trouvée dans la partie A. 

