Le but de l'exercice est de démontrer que l'équation :
\[
(E)\qquad:\qquad \e^x=\frac{1}{x}
\]
admet une unique solution dans l'ensemble \R{} des nombres réels.

On pose pour tout réel $x$ :
\[
f(x)=x-\e^{-x}.
\]

\begin{enumerate}
\item Démontrer que $x$ est solution de $(E)$ si et seulement si $f(x)=0$.
\item \'Etude du signe de $f$.
\begin{enumerate}
\item \'Etudier le sens de variations de la fonction $f$ sur \R.
\item En déduire que l'équation $(E)$ possède une unique solution sur \R, notée $\alpha$.
\item Démontrer que $\alpha$ appartient à l'intervalle
\intervFF{\dfrac{1}{2}}{1}.
\item \'Etudier le signe de $f$ sur l'intervalle \intervFF{0}{\alpha}.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip


On pose pour tout réel $x$ de l'intervalle \intervFF{0}{1} :
\[ g(x)=\dfrac{1+x}{1+\e^x}.\]

\begin{enumerate}[start=3]
\item Démontrer que l'équation $f(x)=0$ est équivalente à l'équation $g(x)=x$.
\item En déduire que $\alpha$ est l'unique réel vérifiant : $g(\alpha)=\alpha$.
\item Calculer $g'(x)$ et en déduire que la fonction $g$ est croissante sur l'intervalle \intervFF{0}{\alpha}.
\end{enumerate}

\medskip

On considère  la suite \suite{u}{n}{} définie par :
\[
\left\{
\begin{array}{l}
u_0=0\\
u_{n+1}=g(u_n)\quad\forall n\in\N
\end{array}
\right.
\]

\begin{enumerate}[start=6]
\item Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$ : $0\leqslant u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant \alpha$.
\item En déduire que la suite \suite{u}{n}{} est convergente. On note $\ell$ sa limite.
\item Justifier l'égalité : $g(\ell)=\ell$. En déduire la valeur de $\ell$.
\item \`A l'aide de la calculatrice, déterminer une valeur approchée de $u_4$ arrondie à la sixième décimale.
\end{enumerate}

