L'objectif de cet exercice est de calculer la valeur de la fraction infinie:
\[
\frac{2}{3-\frac{2}{3-\frac{2}{3-\frac{2}{3-\ddots}}}}
\]
Pour cela, on pose pour tout entier naturel $n$:
\[
\begin{cases}
u_0 = \frac{2}{3}\\
u_{n+1}=\frac{2}{3-u_n}
\end{cases}
\]

\begin{enumerate}
\item Montrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, $0 < u_n < 1$.
\item Montrer que \suite{u}{n}{} est strictement croissante. En déduire que \suite{u}{n}{} converge.

On pose $\ell$ cette limite. Calculer $\ell$. Conclure.
\end{enumerate}

