
\bigskip

\partie{A: étude d'une fonction}

\begin{enumerate}
\item
\begin{itemize}
\item Calcul de $\limite{x}{-\infty}{f(x)}$.

\medskip

$\limite{x}{-\infty}{\e^x}=0$ et $\limite{x}{-\infty}{\left(-\frac{1}{2}x^2+2x-2 \right)}=-\infty$ donc, pas somme:
\[
\boxed{\limite{x}{-\infty}{f(x)} = -\infty}
\]

\item Calcul de $\limite{x}{-\infty}{f(x)}$.

\medskip

Commençons par transformer l'expression de $f(x)$:
\begin{align*}
f(x) & = \e^x - \dfrac{1}{2}x^2+2x-2\\
& = \e^x\left(1 - \frac{x^2}{2\e^x} + \frac{2x}{\e^x} - \frac{2}{\e^x}\right)
\end{align*}

Or, par croissance comparée, $\limite{x}{+\infty}{\dfrac{x^n}{\e^x}}=0$ donc, par somme et produit :
\[
\boxed{\limite{x}{+\infty}{f(x)}=+\infty}
\]
\end{itemize}
\item 
\begin{itemize}
\item La dérivée de $f$ est:
\[
f'(x)=\e^x-x+2.
\]

\item La dérivée seconde de $f$ est:
\[
f''(x)=\e^x-1.
\]
\end{itemize}

\item On a le tableau suivant:
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[color,colorL=numpagecorrige!10,colorC=numpagecorrige!10,colorV=numpagecorrige!10]{$x$/0.8, $f''(x)$/0.8 , $f'(x)$ / 1 , $f'(x)$/0.8 , $f(x)$/1}{$-\infty$ , 0 , $+\infty$}
\tkzTabLine{ , - , z , + }
\tkzTabVar{+/,-/2,+/}
\tkzTabLine{,,+,}
\tkzTabVar{-/$-\infty$,R,+/$+\infty$}
\end{tikzpicture}
\end{center}

\item 
\begin{itemize}
\item $f''(x) < 0$ sur $\intervOO{-\infty}{0}$ donc $f$ est concave sur cet intervalle.
\item $f''(x) > 0$ sur $\intervOO{0}{+\infty}$ donc $f$ est convexe sur cet intervalle.
\item $f''(x)=0$ en changeant de signe en $x=0$ donc $\mathcal{C}$ admet un unique point d'inflexion en $x=0$.
\end{itemize}

\item Sur \intervOO{0}{1},
\begin{itemize}
\item $f$ est continue et strictement croissante;
\item $f(0) = -1<0$ et  $f(1) = \e-\dfrac{1}{2}>0$, donc $f(0) < 0 < f(1)$.
\end{itemize}
Ainsi, d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires (théorème de la bijection), il existe un unique réel $\alpha$ dans \intervOO{0}{1} tel que $f(\alpha)=0$.

\item Par définition, 
\begin{align*}
f(\alpha) = 0 & \iff \e^\alpha - \dfrac{1}{2}\alpha^2+2\alpha-2=0\\
& \iff  \e^\alpha = \dfrac{1}{2}\alpha^2-2\alpha+2.
\end{align*}
\end{enumerate}


\partie{B: étude d'une suite}

\begin{enumerate}
\item On admet que pour tout entier naturel $n$, $u_n>\alpha$; par conséquent, comme $f$ est strictement croissante sur \R, $f(u_n) > f(\alpha)$.

Or, $f(\alpha)=0$ donc $f(u_n) > 0$.

\item $\forall n\in\N,\ u_{n+1}-u_n = -\dfrac{f(u_n)}{f'(u_n)}$.

\medskip

Or, $f'(x)>0$ donc $f'(u_n)>0$. De plus, $f(u_n)>0$ d'après la question précédente.

\medskip

Ainsi, $u_{n+1}-u_n<0$, ce qui signifie que $(u_n)$ est décroissante.

\bigskip

De plus, $u_n>\alpha$ donc $(u_n)$ est minorée.

Or, toute suite décroissante et minorée converge.

Par conséquent, $(u_n)$ converge.

\item Posons $\limite{n}{+\infty}{(u_n)}=\ell$.

Alors, de l'égalité:
\[
u_{n+1} = u_n - \dfrac{f(u_n)}{f^\prime(u_n)},
\]
on déduit:
\[
\ell = \ell - \dfrac{f(\ell)}{f^\prime(\ell)}\quad\text{ (car $f$ et $f'$ sont continues)}
\]
soit:
\[
0= - \dfrac{f(\ell)}{f^\prime(\ell)}
\]
et donc:
\[
f'(\ell)=0.
\]
Ainsi, $\ell$ est une solution de l'équation $f(x)=0$.

Or, nous avons vu que cette équation admettait une unique solution : $\alpha$.

\medskip

Ainsi, $(u_n)$ converge vers $\alpha$.
\end{enumerate}

