\partie{A: étude d'une fonction exponentielle}

Soit la fonction $f$ définie pour tout réel $x$ par:
\[
f(x) = \e^x - \frac{1}{2} x^2 + 2x - 2.
\]
On note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal.

\begin{enumerate}
\item Calculer $\limite{x}{-\infty}{f(x)}$ et $\limite{x}{+\infty}{f(x)}$.
\item Calculer la dérivée \( f'(x) \) de $f(x)$, puis sa dérivée seconde. 
\item \'Etudier les variations de $f$ sur \R.
\item \'Etudier la convexité de $f$ sur \R. Préciser l'abscisse des éventuels points d'inflexion de $\mathcal{C}$.
\item Montrer qu'il existe un unique réel \( \alpha \) dans l'intervalle \intervOO{0}{1} tel que \( f(\alpha) = 0 \).
\item Justifier que \( \e^\alpha = \dfrac{1}{2}\alpha^2-2\alpha+2 \).
\end{enumerate}

\partie{B: étude d'une suite}

Soit la suite \( (u_n) \) définie par \( u_0 = 1 \) et, pour tout entier naturel $n$,
\[
u_{n+1} = u_n - \dfrac{f(u_n)}{f^\prime(u_n)}.
\]
On admet que pour tout entier naturel $n$, $u_n > \alpha$, $\alpha$ étant l'unique solution à l'équation \mbox{$f(x)=0$.}

\begin{enumerate}
\item Justifier que $f(u_n) > 0$ pour tout entier naturel $n$.
\item En déduire que \((u_n)\) est strictement décroissante, puis que \((u_n)\) converge.
\item Montrer que $\limite{n}{+\infty}{(u_n)}=\alpha$.
\end{enumerate}

