
\begin{enumerate}
\item Quel que soit le point de la courbe, la tangente en ce point est toujours \uline{sous} la courbe; on dit ici que la courbe est toujours au-dessus de ses tangentes. 

Ainsi, la fonction est toujours \uline{convexe} sur l'intervalle o\`u est trac\'ee la courbe.

\item Ici, la courbe est toujours au-dessus de ses tangentes, donc la fonction est \uline{convexe} sur l'intervalle o\`u est trac\'ee la courbe.

\item Au d\'ebut de l'intervalle, la courbe est sous ses tangentes jusqu'\`a un point $I$ au-del\`a duquel la courbe est sous ses tangentes.


On peut alors dire que $I$ est un point d'inflexion et que l'on a :
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[>=stealth',yscale=0.09]
\fill[numpagecorrige!10] (-1,-30) rectangle (0.7,60);
\fill[red!10] (0.7,-30) rectangle (2,60);
\draw[gray,dashed] (-1,-30) grid[ystep=10] (2,60);
\draw[->] (-1,0) -- (2,0);
\draw[->] (0,-30) -- (0,60);
\draw[thick,violet] plot[domain=-1:2,samples=100] (\x,{25*(\x-1)*(\x-2)*exp(\x)});
\fill[red] (0.7,{25*(0.7-1)*(0.7-2)*exp(0.7)}) circle[x radius=2pt,y radius=20pt] node[above right] {$I$};
\node at (0,-20) {concave};
\node at (1.3,50) {convexe};
\end{tikzpicture}
\end{center}

\begin{multicols}{2}
\item \begin{tikzpicture}[>=stealth',baseline=5.5cm]
\fill[numpagecorrige!10] (-3,-2) rectangle (-0.5,6);
\fill[red!10] (-0.5,-2) rectangle (2,6);
\draw[gray,dashed] (-3,-2) grid (2,6);
\clip (-3,-2) rectangle (2,6);
\draw[->] (-3,0) -- (2,0);
\draw[->] (0,-2) -- (0,6);
\draw[thick,violet] plot[domain=-3:2,samples=100] (\x,{(\x+2)*ln(\x*\x+1)});
\fill[red] (-0.5,{(-0.5+2)*ln(0.25+1)}) circle (2pt) node[above right] {$I$};
\node at (-1.7,-1.5) {concave};
\node at (1,5.5) {convexe};
\end{tikzpicture}
\columnbreak
\item \begin{tikzpicture}[>=stealth',baseline=4.5cm,yscale=0.333]
\fill[numpagecorrige!10] (-5,-15) rectangle (-2.8,15);
\fill[red!10] (-2.8,-15) rectangle (-0.5,15);
\fill[numpagecorrige!10] (-.5,-15) rectangle (.8,15);
\fill[red!10] (.8,-15) rectangle (2.5,15);
\draw[gray,dashed] (-5,-15) grid[ystep=3] (2.5,15);
\clip (-5,-15) rectangle (2.5,15);
\draw[->] (-5,0) -- (2.5,0);
\draw[->] (0,-15) -- (0,15);
\draw[thick,violet] plot[domain=-5:2.5,samples=100] (\x,{(\x*\x-4)*exp(0.5*\x+1)*ln(\x*\x+1)});
\fill[red] (-2.8,{(2.8*2.8-4)*exp(-0.5*2.8+1)*ln(2.8*2.8+1)}) circle[x radius=2pt,y radius=6pt] node[above right] {$I$};
\fill[red] (-0.5,{(0.5*0.5-4)*exp(-0.5*0.5+1)*ln(0.5*0.5+1)}) circle[x radius=2pt,y radius=6pt] node[below right] {$J$};
\fill[red] (0.8,{(0.8*0.8-4)*exp(0.5*0.8+1)*ln(0.8*0.8+1)}) circle[x radius=2pt,y radius=6pt] node[above right] {$K$};
%
\node at (-4,-13.5) {concave};
\node at (0.2,-13.5) {concave};
\node at (-2,13.5) {convexe};
\node at (1.6,13.5) {convexe};
\end{tikzpicture}
\end{multicols}
\end{enumerate}

\vspace*{2cm}
