
\begin{enumerate}
\item Le nombre d'individus propageant cette rumeur initialement correspond \`a $f(0)$.

\medskip

$f(0)=100+0^4 \times \e^{-0,1 \times 0} = 100$.

\medskip

\uline{Il y a donc initialement 100 personnes qui propagent initialement cette rumeur.}

\item
\begin{enumerate}
\item La d\'eriv\'ee de $f(x)$ est la d\'eriv\'ee de $x^4\e^{-0,1x}$ car la d\'eriv\'ee de 100 vaut 0.

$x^4\e^{-0,1x}$ est de la forme $uv$ avec :
\[
\begin{array}{l@{\qquad\qquad}l}
u(x)=x^4 & u'(x)=4x^3\\
v(x)=\e^{-0,1x} & v'(x)=-0,1\e^{-0,1}x
\end{array}
\]
donc :
\begin{align*}
f'(x) & = (u'v+uv')(x)\\
& = 4x^3\e^{-0,1x} + x^4\big(-0,1\e^{-0,1x}\big)\\
& = 4\textcolor{red}{x^3\e^{-0,1x}} - 0,1x \times \textcolor{red}{x^3\e^{-0,1x}}\\
& = (4-0,1x)\times x^3\e^{-0,1x}\\
\Aboxed{f'(x) & = x^3(4-0,1x)\e^{-0,1x}}
\end{align*}

\item $f'(x)$ est du signe de $4-0,1x$ car une exponentielle est toujours strictement positive et $x^3\geqslant0$ pour $x\geqslant0$.

De plus,
\begin{align*}
4-0,1x \geqslant0 & \iff 4 \geqslant 0,1x\\
& \iff \dfrac{4}{0,1} \geqslant x\\
& \iff 40 \geqslant x
\end{align*}
d'o\`u le tableau suivant :
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\node[inner sep = 0pt, outer sep = 0pt] (tab) {
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=2,color,colorV=numpagecorrige!10,colorL=numpagecorrige!10,colorC=numpagecorrige!10]
{$x$ / 0.5 , $f'(x)$ / 0.5 , $f$ / 1 }
{ $0$ , $40$ , $50$ }
\tkzTabLine{z , + , z , - , }
\tkzTabVar{-/{\tiny100} , +/ , -/{\tiny\numprint{42212}}}
\end{tikzpicture}};
\drawshadow{tab}{black}
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{enumerate}

\item\label{tes-conv-06-corr-q3} $f$ est convexe si $f''(x)\geqslant0$.

On voit que $f''(x)$ est du signe de $0,01x^2-0,8x+12$, donc le discriminant est :
\[
\Delta = (-0,8)^2-4\times0,01\times12=0,16
\]
donc les deux racines sont :
\[
x_1=\dfrac{0,8-\sqrt{0,16}}{0,02}=20\qquad\text{et}\qquad x_2=\dfrac{0,8+\sqrt{0,16}}{0,02}=60>50.
\]
\newpage
Ainsi,
\begin{itemize}
\item $f''(x)\leqslant0$, donc $f$ est concave, sur \intervFF{20}{50};
\item $f''(x)\geqslant0$, donc $f$ est convexe, sur \intervFF{0}{20}.
\end{itemize}

\item
\begin{enumerate}
\item $f$ est croissante jusqu'\`a $x=40$, donc il faut attendre 40 jours avant que la rumeur diminue.
\item Le nombre maximum d'individus propageant cette rumeur est $f(40)\approx\numprint{46988}$.
\item La notion de \og diminution de croissance \fg{} est assez difficile \`a comprendre pour des \'el\`eves de Terminale ES; il faut juste retenir que \textit{la croissante diminue (ou augmente) quand il y a un changement de convexit\'e}.

Ainsi, cela correspond \`a la pr\'esence d'un point d'inflexion. Ici, c'est au bout de 20 jours que cela se produit (d'apr\`es la question \ref{tes-conv-06-corr-q3}).
\end{enumerate}
\end{enumerate}
