On considère la suite \suite{u}{n}{n\geqslant0} définie par :
\[
\begin{cases}
u_0=5\e\\
u_{n+1}=\sqrt{5u_n}
\end{cases}
\]
\begin{enumerate}
\item Montrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, $u_n\geqslant5$.
\item \'Etudier les variations de \suite{u}{n}{n\geqslant0}.

\item En déduire que \suite{u}{n}{n\geqslant0} converge.

\item Pour tout entier naturel $n$, on pose $v_n=\ln(u_n)-\ln(5)$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que \suite{v}{n}{n\geqslant0} est une suite géométrique. Préciser alors sa raison et son premier terme.
\item En déduire une expression de $v_n$, puis de $u_n$, en fonction de $n$.
\item Calculer alors $\limite{n}{+\infty}u_n$.
\end{enumerate}

\item Pour tout entier naturel $n$, on pose $P_n=\dfrac{u_0\times u_1\times u_2\times\cdots\times u_n}{5^n}$.

Calculer $\limite{n}{+\infty}{P_n}$.
\end{enumerate}

