\youtube{https://www.youtube.com/watch?v=sNmb-6zTPpE}
\begin{enumerate}
\item 
\begin{itemize}
\item Pour résoudre l'équation $\ln(5x-1)=2$, il faut avant tout trouver son domaine de définition.

$\ln(5x-1)$ est défini pour tout réel $x$ tel que $5x-1>0$, soit $x>\dfrac{1}{5}$.

Ainsi, le domaine de définition de l'équation est \intervOO{\dfrac{1}{5}}{+\infty}.

\item $\begin{aligned}[t]
\ln(5x-1)=2 & \iff \e^{\ln(5x-1)}=\e^2\\
& \iff 5x-1=\e^2\\
& \iff 5x= \e^2+1\\
& \iff x=\dfrac{\e^2+1}{5}
\end{aligned}
$

\item On vérifie que la valeur trouvée est bien dans le domaine de définition en en trouvant une valeur approchée.

Par conséquent, $\boxed{S = \left\{ \dfrac{\e^2+1}{5} \right\}}$.
\end{itemize}

\item $\begin{aligned}[t]
\e^{-x}=5 & \iff \ln\big( \e^{-x} \big) = \ln(5)\\
& \iff -x = \ln(5)\\
& \iff x = -\ln(5) = \ln\dfrac{1}{5}
\end{aligned}$

Par conséquent, $\boxed{ S = \{ -\ln 5 \} }$.

\item 
\begin{itemize}
\item Pour résoudre l'inéquation $\ln(3x-1)<0$, il faut avant tout trouver son domaine de définition.

$\ln(3x-1)$ est défini pour tout réel $x$ tel que $3x-1>0$, soit $x>\dfrac{1}{3}$.

Ainsi, le domaine de définition de l'équation est \intervOO{\dfrac{1}{3}}{+\infty}.

\item $\begin{aligned}[t]
\ln(3x-1)<0 & \iff \e^{\ln(3x-1)} < \e^0\\
& \iff 3x-1 < 1\\
& \iff 3x < 2\\
& \iff x < \dfrac{2}{3}
\end{aligned}
$

\item On trouve l'intersection de l'intervalle \intervOO{-\infty}{\dfrac{2}{3}} et du domaine de définition \intervOO{\dfrac{1}{3}}{+\infty}. Par conséquent, $\boxed{S = \intervFF{\dfrac{1}{3}}{\dfrac{2}{3}} }$.
\end{itemize}

\item $\begin{aligned}[t]
\e^{5-x}\leqslant2 & \ln\big( \e^{5-x} \big) \leqslant \ln(2)\\
& \iff 5-x \leqslant \ln(2)\\
& \iff -x \leqslant \ln(2)-5\\
& \iff x \geqslant 5-\ln(2)
\end{aligned}$

Par conséquent, $\boxed{ S = \intervFO{5-\ln(2)}{+\infty} }$
\end{enumerate}
