
\begin{enumerate}
\item $\ln(5x+20)>\ln(3x-9)$.
\begin{itemize}
\item {\bfseries Domaine de définition :} il faut que $\begin{cases}5x+20>0\\3x-9>0\end{cases}$, soit $x>3$.

Le domaine de définition est donc $\mathcal{D}=\intervOO{3}{+\infty}$.

\item {\bfseries Résolution : } 
$\begin{aligned}[t]
     & \ln(5x+20)>\ln(3x-9)\\
\iff & 5x+20>3x-9\\
\iff & 2x > -29\\
\iff & x>-\dfrac{29}{2}.
\end{aligned}$

Notons $\mathcal{U}=\intervOO{-\dfrac{29}{2}}{+\infty}$ ; alors, l'ensemble solution de l'inéquation est $\mathcal{U}\cap\mathcal{D}$, soit $\boxed{\mathcal{S}=\intervOO{3}{+\infty}}$.
\end{itemize}

\item $\ln(8-2x)\leqslant\ln(5x-25)$.
\begin{itemize}
\item {\bfseries Domaine de définition :} il faut que $\begin{cases}8-2x>0\\5x-25>0\end{cases}$, soit $\begin{cases}
x<4\\x>5\end{cases}$, donc le domaine de définition est $\intervOO{-\infty}{4}\cup\intervOO{5}{+\infty}$.

\item {\bfseries Résolution :} 
$\begin{aligned}[t]
     & \ln(8-2x)\leqslant\ln(5x-25)\\
\iff & 8-2x \leqslant 5x-25\\
\iff & 8+25 \leqslant 5x+2x\\
\iff & 7x \geqslant 33\\
\iff & x \geqslant \dfrac{33}{7}.
\end{aligned}$

Notons $\mathcal{U}=\intervFO{\dfrac{33}{7}}{+\infty}$ ; l'ensemble solution de l'inéquation est alors $\mathcal{U}\cap\mathcal{D}$, soit $\boxed{\mathcal{S}=\intervOO{5}{+\infty}}$
\end{itemize}

\item $\ln(x^2+1)<\ln(2x^2+x+2)$.
\begin{itemize}
\item {\bfseries Domaine de définition :} il faut que $\begin{cases}x^2+1>0\\2x^2+x+2>0\end{cases}$, ce qui est toujours le cas car le discriminant des polynômes $x^2+1$ et $2x^2+x+2$ sont strictement négatifs.

Le domaine de définition est donc $\R$.

\item {\bfseries Résolution :} 
$\begin{aligned}[t]
     & \ln(x^2+1)<\ln(2x^2+x+2)\\
\iff & x^2+1<2x^2+x+2\\
\iff & x^2+x+1>0.
\end{aligned}$

Le discriminant de $x^2+x+1$ étant strictement négatif, tout réel $x$ convient. 

L'ensemble solution de cette inéquation est donc $\boxed{\mathcal{S}=\R}$.
\end{itemize}

\item $\ln(2x^2-3x+1)>\ln(-5x^2+8x-3)$.
\begin{itemize}
\item {\bfseries Domaine de définition :} les racines de $2x^2-3x+1$ sont 1 et $\dfrac{1}{2}$ ;\\
ainsi, $2x^2-3x+1>0$ sur $I=\intervOO{-\infty}{\dfrac{1}{2}}\cup\intervOO{1}{+\infty}$.

Les racines de $-5x^2+8x-3$ sont 1 et $\dfrac{3}{5}$ donc $-5x^2+8x-3>0$ sur $J=\intervOO{\dfrac{3}{5}}{1}$.

Le domaine de définition est donc $I \cap J=\varnothing$.

\item {\bfseries Résolution :} le domaine de définition étant l'ensemble vide, il ne peut y avoir de solutions à cette inéquation. Donc $\boxed{\mathcal{S}=\varnothing}$
\end{itemize}

\item $\ln(x^2-5x-14)\leqslant\ln(2x^2-10x+8)$.
\begin{itemize}
\item {\bfseries Domaine de définition :} le polynôme $x^2-5x-14$ admet pour racines $-2$ et 7 donc il est strictement positif sur $I=\intervOO{-\infty}{-2}\cup\intervOO{7}{+\infty}$.

Le polynôme $2x^2-10x+8$ admet pour racines 4 et 1 donc il est strictement positif sur $J=\intervOO{-\infty}{1}\cup\intervOO{4}{+\infty}$.

\medskip

Le domaine de définition est donc $I \cap J$, soit $\mathcal{D}=\intervOO{-\infty}{-2}\cup\intervOO{7}{+\infty}$.

\item {\bfseries Résolution :}
$\begin{aligned}[t]
     & \ln(x^2-5x-14)\leqslant\ln(2x^2-10x+8)\\
\iff & x^2-5x-14\leqslant2x^2-10x+8\\
\iff & x^2-5x+22\geqslant0.
\end{aligned}$

Le discriminant de $x^2-5x+22$ est $\Delta=25-108<0$ donc le polynôme est toujours strictement positif.

\medskip

L'ensemble solution de l'inéquation est donc $\boxed{\mathcal{S}=\intervOO{-\infty}{-2}\cup\intervOO{7}{+\infty}}$
\end{itemize}

\item $\ln(x^2+x-6)>\ln(-2x^2+14x+16)$.
\begin{itemize}
\item {\bfseries Domaine de définition :} le polynôme $x^2+x-6$ admet pour racines 2 et $-3$ donc il est strictement positif sur $I=\intervOO{-\infty}{-3}\cup\intervOO{2}{+\infty}$.

Le polynôme $-2x^2+14x+16$ admet pour racines $-1$ et 8 donc il est strictement positif sur $J=\intervOO{-1}{8}$.

\medskip

Le domaine de définition est donc $I\cap J$, soit $\mathcal{D}=\intervOO{2}{8}$.

\item {\bfseries Résolution :} 
$\begin{aligned}[t]
     & \ln(x^2+x-6)>\ln(-2x^2+14x+16)\\
\iff & x^2+x-6>-2x^2+14+16\\
\iff & 3x^2-13x-22>0.
\end{aligned}$

Le discriminant du polynôme $3x^2-13x-22$ est $\Delta=169+12\times22=433$ donc il admet deux racines : $x_1=\dfrac{13-\sqrt{433}}{6}\notin\mathcal{D}$ et $x_2=\dfrac{13+\sqrt{433}}{6}\in\mathcal{D}$.

Ainsi, $3x^2-13x-22>0$ sur $\mathcal{U}=\intervOO{-\infty}{x_1}\cup\intervOO{x_2}{+\infty}$.

\medskip

L'ensemble solution de l'inéquation est donc $\mathcal{U}\cap\mathcal{D}$, soit $\boxed{\mathcal{S}=\intervOO{\dfrac{13+\sqrt{433}}{6}}{8}}$
\end{itemize}
\end{enumerate}
