
Pour cet exercice, nous allons nous appuyer sur le résultat du cours suivant: $\limite{x}{0}{\dfrac{\sin x}{x}=1}$.
\begin{enumerate}
\item En posant $y=5x$, on voit que $\limite{x}{0}{(y)}=0$, d'où:
\[
\limite{x}{0}{\dfrac{\sin(5x)}{5x}} = \limite{y}{0}{\dfrac{\sin(y)}{y}} = 1.
\]

\item D'après le même raisonnement que celui adopté à la question précédente, on peut écrire:
\[
\limite{x}{0}{\dfrac{\sin(3x)}{3x}} = 1.
\]
Par conséquent,
\[
\limite{x}{0}{\dfrac{3x}{\sin(3x)}} = 
\limite{x}{0}{\dfrac{1}{\frac{\sin(3x)}{3x}}} = \dfrac{1}{1}=1.
\]

\item  On a:
\[
\limite{x}{0}{\dfrac{x}{\sin(7x)}} = \limite{x}{0}{\dfrac{1}{7}\times\dfrac{7x}{\sin(7x)}} = \dfrac{1}{7}\limite{x}{0}{\dfrac{7x}{\sin(7x)}}.
\]
D'après un raisonnement analogue à celui de la réponse à la question précédente, on peut écrire:
\[\limite{x}{0}{\dfrac{7x}{\sin(7x)}}=1\]
donc:
\[
\limite{x}{0}{\dfrac{x}{\sin(7x)}}=\dfrac{1}{7}.
\]
\end{enumerate}
