Soit la fonction $f$ définie sur $\R$ par :
\[
f(x)=\dfrac{1}{x(x+1)}.
\]
Sa courbe représentative sur \intervFF{0}{10} est donnée ci-dessous :
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\node[outer sep = 0pt, fill = white] (img) {
\begin{tikzpicture}[>=latex,yscale=4,xscale=1.2]
\fill[violet!10] (1,0) -- plot[domain=1:10,samples=100] (\x,{1/(\x*(1+\x))}) -- (10,0) -- cycle;
\draw[dotted] (0,0) grid[xstep=0.25,ystep=0.1] (10,1.5);
\draw[very thick,->] (0,0) -- (11,0);
\draw[very thick,->] (0,0) -- (0,1.5);
\foreach\x in {0,1,...,10}
{%
\draw[very thick] (\x,0.025) -- (\x,-0.025) node[below] {\bfseries\x};
}
\foreach\y in {1}
{%
\draw[very thick] (0.05,\y) -- (-0.05,\y) node[left] {\bfseries\y};
}
\clip (0,0) rectangle (10,1.5);
\draw[thick,violet] plot[domain=0.2:10,samples=100] (\x,{1/(\x*(\x+1))});
\end{tikzpicture}};
\drawshadow{img}{black}
\end{tikzpicture}
\end{center}
\begin{enumerate}
\item À l'aide du quadrillage, montrer que $\dint_{1}^{10} f(x)\dx \geqslant 0,5$.
\item Montrer que $f(x)=\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{x+1}$.
\item En déduire la valeur exacte, puis une valeur approchée à $10^{-4}$ près de $\dint_{1}^{10} f(x)\dx$.
\end{enumerate}

