\begin{minipage}{9cm}
\begin{tikzpicture}
\node[inner sep = 0pt, outer sep = 0pt, fill = white] (img) {
\begin{tikzpicture}[>=latex,xscale=2]
\fill[purple!20] (1.55,0) plot[domain=1.55:0.25] (\x,{1/\x})  -- (0.25,0) -- cycle;
\fill[white] (1.55,0) plot[domain=1.55:0.25] (\x,{0.5*\x*\x-\x+1}) -- (0.25,0) -- cycle;
%
\fill[green!20] (1.55,0) plot[domain=1.55:2.75] (\x,{0.5*\x*\x-\x+1}) -- (2.75,0) -- cycle;
\fill[white] (1.55,0) plot[domain=1.55:2.75] (\x,{1/\x})  -- (2.75,0) -- cycle;
%
\draw[dotted,opacity=0.5] (0,0) grid[step=0.5] (4,4);
\draw[->,very thick] (0,0) -- (4,0);
\draw[->,very thick] (0,0) -- (0,4.1);
\foreach\x in {0,1,2,3}
{%
\draw[very thick] (\x,0.1) -- (\x,-0.1) node[below] {\bfseries\x};
\draw[very thick] (0.1,\x) -- (-0.1,\x) node[left] {\bfseries\x};
}
\draw[very thick] (0.1,4) -- (-0.1,4) node[left] {\bfseries4};
\draw[thick,dashed] (2.75,{0.5*2.75*2.75-2.75+1}) -- (2.75,0) node[below,outer ysep=2mm] {$a$};
\draw[thick,dashed] (0.25,4) -- (0.25,0) node[below] {$\frac{1}{4}$};
\draw[thick,dashed] (1.55,{1/1.55}) -- (1.55,0) node[below,outer ysep=2mm] {$\alpha$};
\clip (0,0) rectangle (4,5);
\draw[very thick,violet] plot[domain=0.25:3.5,samples=100] (\x,{1/\x}) node[right] {${\cal C}_f$};
\draw[very thick,violet] plot[domain=0.25:3.5,samples=100] (\x,{0.5*\x*\x-\x+1}) node[right] {${\cal C}_g$};
\end{tikzpicture}};
\drawshadow{img}{black}
\end{tikzpicture}
\end{minipage}
\begin{minipage}{\dimexpr\textwidth-9cm}
On a représenté ci-contre les courbes représentatives des fonctions $f$ et $g$ définies par :
\[ f(x)=\dfrac{1}{x}\qquad\text{et}\qquad g(x)=0,5x^2-x+1.\]
On a noté $\alpha$ l'abscisse de leur point d'intersection.

L'objectif de cet exercice est de déterminer la valeur de $a$ telle que les deux aires colorées  soient égales.
\end{minipage}

\begin{enumerate}
\item En vous aidant de la fonction $x\longmapsto0,5x^3-x^2+x-1$, prouver algébriquement l'existence de $\alpha$, puis déterminer une valeur approchée de $\alpha$ au centième.
\item Déterminer alors une valeur approchée de $a$.
\end{enumerate}

