On considère la fonction $f$ définie sur \R par : $f(x) = \dfrac{1}{1+\e^{-x}}$, dont la courbe représentative est donnée ci-dessous.

On considère le domaine $\mathcal{D} = \{ M\coord{x}{y} | -5 \leqslant x \leqslant 2,\ 0 \leqslant y \leqslant f(x)\}$, représenté en bleu sur le schéma.

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[domain=-5:3]
\clip (-5,-1) rectangle (3,2);
\fill[numpageenonce!50] (-5,0) plot[domain=-5:2] (\x,{1/(1+exp(-\x))}) -- (2,0) -- cycle;
\draw[gray] (-5,-1) grid (3,2);
\draw[thick,->,>=latex] (-5,0) -- (3,0);
\draw[thick,->,>=latex] (0,-1) -- (0,2);

\draw[numpageenonce,thick] plot (\x,{1/(1+exp(-\x))});
\end{tikzpicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Montrer que l'aire $\mathcal{A}$ de $\mathcal{D}$ est égale à $\mathcal{A}= 5 + \ln\left( \frac{1+\e^2}{1+\e^5)} \right)$.
\item On note $\mathcal{D}_t = \{ M\coord{x}{y} | t \leqslant x \leqslant 2,\ 0 \leqslant y \leqslant f(x)\}$, pour $t<0$. Soit alors $\mathcal{A}(t)$ l'aire de $\mathcal{D}_t$. Déterminer $\limite{t}{-\infty}{\mathcal{A}(t)}$.
\end{enumerate}

