\begin{rem}
Dans cet exercice, on considèrera connue l'égalité:
\[
\forall x\in\R,\qquad\sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x).
\]
\end{rem}
On considères les intégrales suivantes:
\[
I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^2(x)\e^x\dx\qquad;\qquad J=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^2(x)\e^x\dx.
\]
\begin{enumerate}
\item Calculer $I+J$.
\item
\begin{enumerate}
\item À l'aide d'une intégration par parties, montrer que:
\[
I = -1+\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin(2x)\e^x \dx.
\]
\item On pose $K=\dint_0^{\frac{\pi}{2}} \sin(2x)\e^x \dx$.

À l'aide d'une double intégration par parties, montrer que:
\[
K = 2\e^{\frac{\pi}{2}}-4I-2.
\]
\item En déduire la valeur de $I$.
\end{enumerate}
\item En déduire la valeur de $J$.
\end{enumerate}

