Soit la fonction $f$ définie sur $\intervOO{1}{+\infty}$ par:
$ f(x)=\dfrac{1}{x\ln x}$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que $f'(x)=-\dfrac{1+\ln x}{(x\ln x)^2}$.
\item En déduire les variations de $f$ sur $\intervOO{0}{1}\cup\intervOO{1}{+\infty}$.
\item En remarquant que $f(x)=\dfrac{\frac{1}{x}}{\ln x}$, calculer la valeur moyenne de $f(x)$ sur \intervFF{\e}{10}.
\item Dessiner ci-dessous un rectangle dont l'aire est la même que celle représentée colorée.
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\node[outer sep = 0pt, fill = white] (img) {
\begin{tikzpicture}[>=latex,yscale=5,xscale=0.8]
\fill[purple!20] (2.718,0) -- plot[domain=2.718:10,samples=100] (\x,{1/(\x*ln(\x))}) -- (10,0) -- cycle;
\draw[dotted] (0,0) grid[xstep=1, ystep = 0.2] (11,1.3);
\draw[very thick,->] (0,0) -- (11,0);
\draw[very thick,->] (0,0) -- (0,1.3);
\foreach\x in {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}
{
\draw[very thick] (\x,0.03) -- (\x,-0.03) node[below] {\bfseries\x};
}
\foreach\y in {0,1}
{
\draw[very thick] (0.1,\y) -- (-0.1,\y) node[left] {\bfseries\y};
}
\draw[very thick] (2.718,0.03) -- (2.718,-0.03) node[below] {$\e$};
\clip (0,0) rectangle (10,1.3);
\draw[thick,purple] plot[domain=1.1:10,samples=100] (\x,{1/(\x*ln(\x))}) node[below right,fill=white] {$y=\frac{1}{x\ln x}$};
\end{tikzpicture}};
\drawshadow{img}{black}
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{enumerate}
\vspace*{-1em}

