
\begin{enumerate}
\item D'après le cours, $(E_0)$ a pour solutions : $y_0(x)=C\e^{-5x}$, où $C\in\R$.

\item
\begin{enumerate}
\item $f(x)=a\cos x + b\sin x \Rightarrow f'(x)=-a\sin x + b\cos x$.
\begin{align*}
f\text{ solution de (E)} & \iff f'(x) + 5f(x) = 12\cos x\\
& \iff -a\sin x + b\cos x + 5(a\cos x + b\sin x) = 12\cos x\\
& \iff (5a+b-12)\cos x + (-a+5b)\sin x = 0\\
& \iff 
\begin{cases}
5a+b=12\\
a = 5b
\end{cases}\\
& 
\iff 
\begin{cases}
6b=12\\
a=5b
\end{cases}
\\
& \iff \begin{cases}
b=2\\
a=10
\end{cases}
\end{align*}
Ainsi,
\[
\boxed{f(x)=10\cos x + 2\sin x\text{ est une solution particulière de (E).}}
\]
\item On déduit de ce qui précède que l'ensemble des solutions de (E) est l'ensemble des fonctions :
\[
\boxed{y(x)=10\cos x+2\sin x + C\e^{-5x},\ C\in\R}
\]
\end{enumerate}
\end{enumerate}
