Soit $f$ une fonction dérivable et continue telle que $f(x) \neq 0$ sur \intervFF{4}{8}.

On sait que $f(4)=\dfrac{1}{4}$, $f(8)=\dfrac{1}{2}$ et $\dint_4^8 \dfrac{\big[f'(x)\big]^2}{\big[ f(x) \big]^4}\dx = 1$.

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Le but de cet exercice est de trouver l'expression de $f(x)$ sur \intervFF{4}{8}.

\begin{enumerate}
\item Donner une primitive de $\dfrac{f(x)}{\big[ f(x) \big]^2}$.

En déduire la valeur de $\dint_4^8  \dfrac{f(x)}{\big[ f(x) \big]^2} \dx$.

\item Pour tout réel $k$, exprimer $\dint_4^8 \left( \dfrac{f(x)}{\big[ f(x) \big]^2} + k \right)^2 \dx$ en fonction de $k$.

\item En prenant $k=-\dfrac{1}{2}$, montrer que $\dfrac{f(x)}{\big[ f(x) \big]^2}=\dfrac{1}{2}$.

\item En déduire alors l'expression de $f(x)$.
\end{enumerate}

