
\begin{enumerate}
\item D'après le cours, $(E_0)$ a pour solutions : $y_0(x)=C\e^{2x}$, où $C\in\R$.

\item
\begin{enumerate}
\item $f(x)=a\cos x + b\sin x \Rightarrow f'(x)=-a\sin x + b\cos x$.
\begin{align*}
f\text{ solution de (E)} & \iff f'(x) - 2f(x) = 7\sin x\\
& \iff -a\sin x + b\cos x - 2(a\cos x + b\sin x) = 7\sin x\\
& \iff (-2a+b)\cos x + (-a-2b-7)\sin x = 0\\
& \iff 
\begin{cases}
-2a+b=0\\
-a-2b=7
\end{cases}\\
& 
\iff 
\begin{cases}
b = 2a\\
-a-2(2a)=7
\end{cases}
\\
& \iff \begin{cases}
b=2a\\
a = -\dfrac{7}{5}
\end{cases}
\\
& \iff \begin{cases}
b=-\dfrac{14}{5}\\
a = -\dfrac{7}{5}
\end{cases}
\end{align*}
Ainsi,
\[
\boxed{f(x)=-\dfrac{14}{5}\cos x - \dfrac{7}{5}\sin x\text{ est une solution particulière de (E).}}
\]

\item On déduit de ce qui précède que l'ensemble des solutions de (E) est l'ensemble des fonctions :
\[
\boxed{y(x)=-\dfrac{14}{5}\cos x - \dfrac{7}{5}\sin x + C\e^{2x},\ C\in\R}
\]
\end{enumerate}
\end{enumerate}
