
\begin{enumerate}
\item $\vv{\text{AB}}\begin{pmatrix}-1-2\\1-(-1)\\1-0\end{pmatrix}$ soit $\vv{\text{AB}}\begin{pmatrix}-3\\2\\1\end{pmatrix}$.

$\vv{\text{AC}}\begin{pmatrix}1\\-1\\-1\end{pmatrix}$

\medskip

$\dfrac{1}{-3}\neq\dfrac{-1}{2}$ donc les vecteurs $\vv{\text{AB}}$ et $\vv{\text{AC}}$ ne sont pas colinéaires.

\medskip

\underline{Par conséquent, les points A, B et C ne sont pas alignés.}

\item $\vv{\text{AB}}$ et $\vv{\text{AC}}$ sont deux vecteurs non colinéaires du plan (ABC) donc ce sont deux vecteurs directeurs de ce plan. De plus, $\rm A\in(ABC)$ donc une représentation paramétrique du plan (ABC) est :
\[
\boxed{\left\{
\begin{array}{l}
x=2-3t+t'\\
y=-1+2t-t'\\
z=t-t'
\end{array}
\right.\quad,\quad \coord{t}{t'}\in\R^2}
\]

\newpage

\item E$(0;-1;1)$.
\begin{enumerate}
\item Si $\rm E\in(ABC)$ alors il existe deux réels $t$ et $t'$ tels que :
\[
\left\{\begin{array}{r@{\;=\;}l}
0 & 2-3t+t'\\
-1 & -1+2t-t'\\
1 & t-t'
\end{array}\right.
\qquad\text{soit}\qquad
\left\{\begin{array}{r@{\;=\;}l}
t' & 3t-2\\
2t & t'\\
1 & t-t'
\end{array}\right.
\]
Des 1\iere{} et 2\ieme{} équations, on déduit que :
\[
3t-2=2t \qquad\text{soit}\qquad t=2
\]
et donc 
\[
t'=2\times2=4.
\]
La 3\ieme{} équation donne alors :
\[
1=2-4\;,
\]
ce qui n'est pas vrai, donc il n'existe pas de réels $t$ et $t'$ tels que les coordonnées de E satisfont la représentation paramétrique de (ABC) que nous avons donnée à la question précédente.

\underline{Ainsi, E n'appartient pas au plan (ABC).}

\item Par définition, (EH) est orthogonale au plan (ABC) donc :
\[
\left\{
\begin{array}{l}
\vv{\text{AB}}\cdot\vv{\text{EH}}=\vv{\text{0}}\\
\vv{\text{AC}}\cdot\vv{\text{EH}}=\vv{\text{0}}
\end{array}
\right. \Longleftrightarrow
\left\{
\begin{array}{l}
-3a+2b+c+1=0\\
a-b-c=0
\end{array}
\right.
\]
Or, $\rm H\in(ABC)$ donc il existe deux réels $t$ et $t'$ pour lesquels :
\[
\left\{
\begin{array}{l}
a=2-3t+t'\\
b=-1+2t-t'\\
c=t-t'
\end{array}
\right.
\]
Le système précédent devient alors :
\[
\left\{
\begin{array}{l}
-3(2-3t+t')+2(-1+2t-t')+(t-t')+1=0\\
(2-3t+t')-(-1+2t-t')-(t-t')=0
\end{array}
\right.
\qquad
\text{soit}
\qquad
\left\{
\begin{array}{l}
14t-6t'=7\\
-2t+t'=-1
\end{array}
\right.
\]
On trouve alors $t=\dfrac{1}{2}$ et $t'=0$, d'où :
\[
\left\{
\begin{array}{l}
a=2-\dfrac{3}{2}=\dfrac{1}{2}\\
b=-1+1=0\\
c=\dfrac{1}{2}
\end{array}
\right.
\]
$\boxed{\text{D'où H}\left(\dfrac{1}{2};0;\dfrac{1}{2}\right)}$

\item $\vv{\text{EH}}\begin{pmatrix}\frac{1}{2}\\1\\-\frac{1}{2}\end{pmatrix}$ donc une représentation paramétrique de (EH) est (en prenant les coordonnées de E) :
\[
\boxed{\left\{
\begin{array}{l}
x=\frac{1}{2}k\\
y=-1+k\\
z=1-\frac{1}{2}k
\end{array}
\right.\quad,\quad k\in\R}
\]
\end{enumerate}
\end{enumerate}
