
\begin{enumerate}
\item $I$ et $J$ sont sur le plan $(ABC)$ alors que $K$ n'y est pas. Ainsi, $\vv{IJ}$ et $\vv{IK}$ ne sont pas colinéaires; ils forment donc une base du plan passant par ces trois points, le plan $(IJK)$.

\item Une façon de faire est d'exprimer les vecteurs $\vv{IJ}$, $\vv{IK}$ et $\vv{IL}$ en fonction de $\vv{AB}$, $\vv{AE}$ et $\vv{AD}$ (par exemple).
\begin{itemize}
\item $\vv{IJ} = \dfrac{1}{2}\vv{AB} - \dfrac{1}{2}\vv{AD}$
\item $\vv{IK} = \vv{AB} + \vv{AE} + \dfrac{1}{4}\vv{AD}$
\item $\begin{aligned}[t]
\vv{IL}  = \vv{IA} + \vv{AL} = -\dfrac{1}{2}\vv{AD} + \dfrac{1}{2}\vv{AB} + \vv{AE} + \dfrac{5}{4}\vv{AD}  = \dfrac{1}{2}\vv{AB} + \vv{AE} + \dfrac{3}{4}\vv{AD}.
\end{aligned}$
\end{itemize}

Si $\vv{IL}$ est une combinaison linéaire de $\vv{IJ}$ et $\vv{IK}$ alors :
\begin{align*}
& \exists (\lambda;\mu)\in\R,\quad \vv{IL} = \lambda\vv{IJ} + \mu\vv{IK}\\
\iff & 
\exists (\lambda;\mu)\in\R,\quad 
\dfrac{1}{2}\vv{AB} + \vv{AE} + \dfrac{3}{4}\vv{AD} 
= 
\lambda\left( \dfrac{1}{2}\vv{AB} - \dfrac{1}{2}\vv{AD} \right) + 
\mu\left( \vv{AB} + \vv{AE} + \dfrac{1}{4}\vv{AD} \right)\\
\iff & 
\exists (\lambda;\mu)\in\R,\quad 
\textcolor{red}{\dfrac{1}{2}}\vv{AB} + \textcolor{blue}{1}\vv{AE} + \textcolor{green!50!black}{\dfrac{3}{4}}\vv{AD} 
= 
\textcolor{red}{\left(\dfrac{1}{2}\lambda+\mu\right)}\vv{AB} 
+ \textcolor{blue}{\mu}\vv{AE}
+ \textcolor{green!50!black}{\left(- \dfrac{1}{2}\lambda + \dfrac{1}{4}\mu\right)}\vv{AD}\\
\iff & \exists (\lambda;\mu)\in\R,\quad  \begin{cases}
\textcolor{red}{\frac{1}{2} = \frac{1}{2}\lambda+\mu}\\
\textcolor{blue}{1 = \mu}\\
\textcolor{green!50!black}{\dfrac{3}{4} = -\frac{1}{2}\lambda + \frac{1}{4}\mu}
\end{cases}\\
& \text{(les coefficients des vecteurs doivent être égaux un à un)}
\end{align*}
On trouve alors $\mu=1$ et par suite, $\lambda=-1$. Ainsi,
\[
\boxed{\vv{IL} = -\vv{IJ} + \vv{IK}}
\]
$\vv{IL}$ est donc bien une combinaison linéaire de $\vv{IJ}$ et $\vv{IK}$.

On peut alors conclure que le point $L$ est sur le plan $(IJK)$.

\item Notons $M$ le milieu de $[AG]$. Alors, 
\begin{align*}
\vv{IM} & = \textcolor{red}{\vv{IA}} + \vv{AM}\\
& = \textcolor{red}{-\dfrac{1}{2}\vv{AD}} + \dfrac{1}{2}\vv{AB} + \dfrac{1}{2}\vv{AE} + \dfrac{1}{2}\vv{AD}\\
& = \dfrac{1}{2}\vv{AB} + \dfrac{1}{2}\vv{AE}.
\end{align*}
$\vv{IM}$ est une combinaison linéaire de $\vv{AB}$ et $\vv{AE}$ alors que d'une part, $\vv{IJ}$ s'exprime en fonction de $\vv{AB}$ et $\vv{AD}$ et d'autre part, $\vv{IK}$ s'exprime en fonction de $\vv{AB}$, $\vv{AE}$ et $\vv{AD}$. 

$\vv{IM}$ ne peut donc pas être une combinaison linéaire de $\vv{IJ}$ et $\vv{IK}$. 

\underline{$M$ n'appartient donc pas au plan $(IJK)$.}
\end{enumerate}
