
\begin{enumerate}
\item 
\begin{itemize}
\item Démontrons l'existence d'au moins un point tel que $\alpha\vv{GA} + \beta\vv{GB} + \gamma\vv{GC} = \vv{0}$.
\begin{align*}
\alpha\vv{GA} + \beta\vv{GB} + \gamma\vv{GC} = \vv{0} & 
\iff \alpha\vv{GA} + \beta\big(\vv{GA}+\vv{AB}\big) + \gamma\big(\vv{GA}+\vv{AC}\big) = \vv{0}\\
& \iff (\alpha+\beta+\gamma)\vv{GA} = -\beta\vv{AB}-\gamma\vv{AC}\\
& \iff \vv{AG} = \dfrac{\beta}{\alpha+\beta+\gamma}\vv{AB} + \dfrac{\gamma}{\alpha+\beta+\gamma}\vv{AC}\text{ (car $\alpha+\beta+\gamma\neq0$)}. 
\end{align*}

Le point $G$ est alors bien défini et on sait le placer à l'aide de cette dernière égalité.

\item Montrons maintenant l'unicité.

Supposons qu'il existe deux points $G$ et $G'$ vérifiant la même égalité:
\begin{align*}
\alpha\vv{GA} + \beta\vv{GB} + \gamma\vv{GC} &= \vv{0}\\
\alpha\vv{G'A} + \beta\vv{G'B} + \gamma\vv{G'C} &= \vv{0}
\end{align*}

Ainsi, par soustraction,
\[
\alpha\big(\vv{GA}-\vv{G'A}\big) + \beta\big(\vv{GB}-\vv{G'B}\big) + \gamma\big(\vv{GC}-\vv{G'C}\big) = \vv{0}
\]
soit:
\[
\alpha\vv{GG'} + \beta\vv{GG'} + \gamma\vv{GG'} = \vv{0}
\]
ou encore:
\[
(\alpha+\beta+\gamma)\vv{GG'}=\vv{0}.
\]
Or, $G$ est différent de $G'$ donc $\vv{GG'}\neq0$. Cela suppose donc que $\alpha+\beta+\gamma=0$, ce qui est impossible par hypothèse de départ.

Ainsi, l'hypothèse selon laquelle il existerait deux points distincts $G$ et $G'$ satisfaisant la même égalité est fausse, ce qui montre l'unicité du barycentre.
\end{itemize}

\item Pour justifier que $G$ appartient au plan $(ABC)$, il suffit de rependre l'égalité démontrée au premier point de la réponse à la question 1:
\[
\vv{AG} = \dfrac{\beta}{\alpha+\beta+\gamma}\vv{AB} + \dfrac{\gamma}{\alpha+\beta+\gamma}\vv{AC}.
\]
Ainsi, $\vv{AG}$ est une combinaison linéaire de $\vv{AB}$ et $\vv{AC}$, ce qui prouve que $G$ appartient à $(ABC)$.

\item $\begin{aligned}[t]
\begin{cases}
H=\text{bar}\{(A;\alpha),(B;\beta\}\\
G=\{(A;\alpha),(B;\beta),(C;\gamma)\}
\end{cases} 
& \iff 
\begin{cases}
\alpha\vv{HA} + \beta\vv{HB} = \vv{0}\\
\alpha\vv{GA} + \beta\vv{GB} + \gamma\vv{GC} &= \vv{0}
\end{cases}\\
\text{(soustraction)}\quad & \iff \begin{cases}
\alpha\vv{GA} + \beta\vv{GB} + \gamma\vv{GC} &= \vv{0}\\
\alpha\big(\vv{GA}-\vv{HA}\big) + \beta\big(\vv{GB}-\vv{HB}\big) + \gamma\vv{GC} &= \vv{0}
\end{cases}\\
& \iff
\begin{cases}
\alpha\vv{GA} + \beta\vv{GB} + \gamma\vv{GC} &= \vv{0}\\
\alpha\vv{GH} + \beta\vv{GH} + \gamma\vv{GC} &= \vv{0}
\end{cases}\\
& \iff
\begin{cases}
\alpha\vv{GA} + \beta\vv{GB} + \gamma\vv{GC} &= \vv{0}\\
(\alpha+\beta)\vv{GH} + \gamma\vv{GC} &= \vv{0}
\end{cases}\\
& \iff G = \text{bar}\{ (H;\alpha+\beta) , (C;\gamma) \}
\end{aligned}$
\end{enumerate}
\begin{rem}
Cette dernière égalité montre que $G$ est sur la droite $(HC)$.
\end{rem}
