Soient $A$, $B$, $C$ et $D$ quatre points quelconques de l'espace.
\begin{enumerate}
\item Montrer que pour tous réels $\alpha$, $\beta$ et $\gamma$ tels que $\alpha+\beta+\gamma\neq0$, il existe un unique point $G$ tel que:
\[
\alpha\vv{GA} + \beta\vv{GB} + \gamma\vv{GC} = \vv{0}.
\]
Ce point est alors appelé \textit{barycentre} du système $\{(A;\alpha),(B;\beta),(C;\gamma)\}$, et on note :
\[
G = \text{bar}\{(A;\alpha),(B;\beta),(C;\gamma)\}.
\]
Cette définition se généralise à $n$ points, $n\geqslant1$.

\item Justifier que $G$ appartient au plan $(ABC)$.

\item Montrer que :
\[
\begin{cases}
H=\text{bar}\{(A;\alpha),(B;\beta\}\\
G=\{(A;\alpha),(B;\beta),(C;\gamma)\}
\end{cases} \qquad \iff \qquad G = \text{bar}\{(H;\alpha+\beta),(C;\gamma)\}.
\]
\end{enumerate}

