Soit ABCDEFGH un cube comme représenté ci-dessous.

\medskip

\begin{minipage}{6cm}
\begin{tikzpicture}
\node[fill = white] (img) {
\begin{tikzpicture}
\coordinate (A) at (0,0);
\coordinate (B) at (3,0);
\coordinate (C) at (3,3);
\coordinate (D) at (0,3);
\coordinate (E) at (1,1);
\coordinate (F) at (4,1);
\coordinate (G) at (4,4);
\coordinate (H) at (1,4);
\coordinate (I) at (1.5,3);
\coordinate (J) at (2.5,4);
\coordinate (K) at (0.5,3.5);
\shade[left color=purple!5,right color=purple!40] (K) -- (A) -- (I) -- cycle;
\shade[left color=purple!5,right color=purple!40] (K) -- (J) -- (I) -- cycle;
\fill[purple!40] (A) -- (I) -- (J) -- (E) -- cycle;
\draw (A) node[below left] {A} -- (B) node[below right] {B} -- (C) node[above] {C} -- (D) node[above left] {D} -- (H) node[above] {H} -- (G) node[above right] {G} -- (F) node[right] {F} -- (B);
\draw (A) -- (D);
\draw (C) -- (G);
\draw[dashed] (A) -- (E) -- (H);
\draw[dashed] (E) node[below right] {E} -- (F);
\draw (A) -- (I) node[below right] {I} -- (J) node[above] {J} -- (K) node[above left] {K} -- (I);
\draw[dashed] (J) -- (E) -- (K) -- (A);
\end{tikzpicture}};
\drawshadow{img}{black}
\end{tikzpicture}
\end{minipage}
\begin{minipage}{\dimexpr\linewidth-6cm}
On place les points I, J et K respectivement au milieu des côtés [DC], [GH] et [DH]. On fixe le repère $\left(A;\vv{AB},\vv{AD},\vv{AE}\right)$.
\end{minipage}


\begin{enumerate}
\item Montrer que le vecteur $\vv{u}\begin{pmatrix}1 \\ -\frac{1}{2}\\ 0 \end{pmatrix}$ est un vecteur normal au plan (AEJI).
\item En déduire une équation cartésienne du plan (AEJI).
\item On admet que la distance du point K au plan (AEJI)  est égale à $\dfrac{1}{\sqrt5}$.

En déduire le volume de la pyramide AEJIK.
\item Donner une représentation paramétrique de la droite $\mathcal{D}$, perpendiculaire au plan (AEJI) et passant par K.

En déduire les coordonnées du point d'intersection de $\mathcal{D}$ avec le plan (AEJI).
\end{enumerate}

