On considère un cube $ABCDEFGH$ et on appelle $K$ le milieu
du segment $[BC]$.

On se place dans le repère $\big(A;\vv{AB},\vv{AD},\vv{AE}\big)$ et on considère le tétraèdre $EFGK$.
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\fill[shading=ball,ball color=orange!20!white,opacity=0.1] (0,4) -- (5,5.5) -- (4.5,0.75)  -- cycle;
\draw (0,0) node[below left] {$A$} -- (4,0) node[below right] {$B$} -- (4,4) node[right] {$F$} -- (0,4) node[left] {$E$} -- cycle;
\draw (0,4) -- (1,5.5) node[left] {$H$} -- (5,5.5) node[right] {$G$} -- (4,4);
\draw (4,0) -- (5,1.5) node[right] {$C$} -- (5,5.5);
\draw[dashed] (0,0) -- (1,1.5) node[below right] {$D$} -- (5,1.5);
\draw[dashed] (1,1.5) -- (1,5.5);
\draw[thick,red] (5,5.5) -- (4.5,0.75) -- (4,4);
\draw[thick,red] (0,4) -- (5,5.5) -- (4,4) -- cycle;
\draw[thick,red,dashed] (0,4) -- (4.5,0.75); 
\node[below right] at (4.5,0.75) {$K$};
\end{tikzpicture}
\end{center}

On rappelle que le volume d'un tétraèdre est donné par :
\[
\mathcal{V} = \dfrac{1}{3}\times \mathcal{B} \times h
\]
où $\mathcal{B}$ désigne l'aire d'une base et $h$ la hauteur relative à cette base.
\begin{enumerate}
\item Préciser les coordonnées des points E, F, G et K.
\item Montrer que le vecteur $\vv{n}\begin{pmatrix}
2\\-2\\1
\end{pmatrix}$ est orthogonal au plan $(EGK)$.
\item Démontrer que le plan $(EGK)$ admet pour équation cartésienne : $2x-2y+z-1=0$.
\item Déterminer une représentation paramétrique de la droite $(d)$ orthogonale au plan $(EGK)$ passant par $F$.
\item Montrer que le projeté orthogonal $L$ de $F$ sur le plan $(EGK)$ a pour coordonnées \coordEsp{\frac{5}{9}}{\frac{4}{9}}{\frac{7}{9}}.
\item Justifier que la longueur $LF$ est égale à $\dfrac{2}{3}$.
\item Calculer l'aire du triangle $EFG$. En déduire que le volume du tétraèdre $EFGK$ est égal à $\dfrac{1}{6}$.
\item Déduire des questions précédentes l'aire du triangle $EGK$.
\item On considère les points $P$ milieu du segment $[EG]$, $M$ milieu du segment $[EK]$ et $N$ milieu du segment $[GK]$. Déterminer le volume du tétraèdre $FPMN$.
\end{enumerate}

