
Notons $u_k$ le nombre de boules dans l'urne $k$, $1\leqslant k \leqslant n$.

Décidons alors de représenter les situations possibles par le mot:
\[
\underbrace{B\ldots B}_{u_1\text{ lettres }B}S\underbrace{B\ldots B}_{u_2\text{ lettres }B}S\cdots S\underbrace{B\ldots B}_{u_n\text{ lettres }B}
\]
La lettre \og B \fg{} désigne une boule et \og S \fg{} désigne une séparation entre les urnes pour bien les distinguer.

Répondre à la question posée revient à trouver toutes les anagrammes du mot contenant $n$ \og B \fg{} (car il y a $n$ boules) et $(p-1)$ \og S \fg.

La réponse est donc:
\[
\dfrac{\fact{(n+p-1)}}{\fact{n}\fact{(p-1)}}.
\]  
