Un joueur de basket-ball effectue une succession de $n$ tirs en direction du panier. Les statistiques de ce joueur nous informent que:
\begin{itemize}
\item le 1\ier lancer est réussi avec une probabilité de 0,95;
\item si un tir est réussi, le tir suivant est réussi avec une probabilité de 0,85;
\item si un tir a échoué, le tir suivant est réussi avec une probabilité de 0,75.
\end{itemize}

Pour tout entier naturel $n$ non nul, on note $A_n$ l'événement : \og le $n$-ième tir est réussi \fg{} et  $p_n$ la probabilité que le $n$-ième tir soit réussi. On a donc $p_1=0,95$.
\begin{enumerate}
\item Représenter la situation à l'aide d'un arbre pour $n=2$, et vérifier que $p_2=0,845$.
\item Montrer que pour tout entier naturel $n$ non nul, $p_{n+1} = 0,1p_n+0,75$.
\item On pose $u_n=p_n-\dfrac{5}{6}$.

Montrer que $(u_n)$ est géométrique et en déduire une expression de $u_n$, puis de $p_n$, en fonction de $n$.

\item Calculer $\limite{n}{+\infty}p_n$ et interpréter ce résultat.
\end{enumerate}

