Dans un hôpital, lors d'une pandémie d'une maladie appelée \og STAS-3 \fg, \pourcent{63} des patients qui arrivent aux urgences présentent les symptômes de cette maladie, dont \pourcent{78} sont réellement atteints par la STAS-3.

Parmi les autres patients, \pourcent{7} s'avèrent atteints de cette maladie.

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On choisit au hasard parmi tous les patients du service des urgences une personne. 

On note:
\begin{itemize}
\item S l'événement: \og la personne choisie présente des symptômes de la STAS-3 \fg,
\item M l'événement:  \og la personne est réellement atteinte de la STAS-3 \fg.
\end{itemize}

\begin{enumerate}
\item Construire un arbre de probabilités représentant cette situation.
\item Quelle est la probabilité que la personne choisie présente des symptômes de la STAS-3 et soit réellement atteinte de cette maladie ?
\item Montrer que la probabilité que la personne choisie soit réellement atteinte de la STAS-3 est égale à 0,5173.
\item La personne choisie n'est pas atteinte de la STAS-3.Quelle est la probabilité qu'elle ait présenté des symptômes lors de son arrivée aux urgences.
\end{enumerate}

L'hôpital reçoit 100 \euro{} de prime pour chaque patient atteint de la STAS-3 en plus de \numprint{100000} \euro{} de forfait pour faire face à cette pandémie. On choisit au hasard 20 personnes aux urgences. Il y a tellement de personnes que l'on peut assimiler ceci à un tirage aléatoire avec remise. On note :
\begin{itemize}
\item X la variable aléatoire représentant le nombre de personnes réellement atteintes par la STAS-3,
\item G la variable aléatoire qui représente la prime gagnée par l'hôpital.
\end{itemize}

\begin{enumerate}[start=5]
\item Quelle est la loi de probabilité de X ?
\item Exprimer G en fonction de X. Calculer alors la prime moyenne que pourrait recevoir l'hôpital sur ces 20 patients.
\item Calculer $\probavar{X}{5}$, $\probavar[\leqslant]{X}{5}$ et $\probavar[\geqslant]{X}{10}$. On arrondira les résultats à $10^{-4}$ près.
\item Déterminer le premier entier $k$ pour lequel $\probavar[\leqslant]{X}{k} \geqslant 0,95$.
\end{enumerate}

