
\begin{enumerate}
\item On est en présence de la répétition de deux expériences identiques et indépendantes. On peut construire l'arbre pondéré suivant, en indiquant les probabilités d'obtention de chaque chiffre pour le premier et le deuxième lancer : voir page suivante.

\bigskip

\begin{rem}
La probabilité de l'issue représentée par un chemin est égale au produit des probabilités présentes sur le chemin.
\end{rem}

\begin{center}
\includegraphics{varind-01}
\end{center}

\item Il n'y a qu'une seule façon d'obtenir les chiffres 1 et 3 dans
cet ordre.  La probabilité de cet événement est: 
\[
p=0,1\times 0,3=0,03.
\]

\item Les différentes façons d'obtenir deux chiffres distincts rangés
      par ordre croissant sont les suivantes: 
      \[
      (1;2)\,; (1;3)\,; (1;4)\,; (2;3)\,;(2;4)\,;(3;4)
      \]
      La probabilité de l'événement correspondant est donc: 
      \[\begin{aligned}
      p
      &=0,1\times0,2+0,1\times0,3+0,1\times0,4\\
       &\hspace{0.4cm}+0,2\times0,3+0,2\times0,4
       +0,3\times0,4\\
      &=0,35.
      \end{aligned}\]

   \item   
   \begin{enumerate}
      \item Avec cette règle, le gain algébrique à ce jeu peut-être de $-3$ euros, 2~\euro{} ou 5~\euro{}. 

            Déterminer la loi de probabilité de $X$, c'est donner les
            probabilités de chacun des événements :
            \[
            P(X=-3)\,, P(X=2) \ \ \text{et} \ P(X=5).
            \] 

            D'après la question précédente, on a déjà calculé 
            \mbox{$P(X=2)=0,35$.} 

            On gagne de plus 5 euros uniquement lorsqu'on obtient deux
            fois le chiffre 1. Cet événement se produit avec une
            probabilité de :
            \[P(X=5)=0,1\times 0,1=0,01\,.\]

            Dans tous les autres cas, on perd 3 euros, et ainsi: 
            \[\begin{aligned}
            P(X=-3)
            &=1-\Bigl( P(X=2)+P(X=5)\Bigr) \\
            &=1-0,35-0,01=0,64.
            \end{aligned}
            \]

            On peut résumer ces résultats par le tableau suivant
            donnant la loi de probabilité de $X$: 

            \begin{center}
            \begin{tabular}{|>{\columncolor{numpagecorrige}\color{pagecorrige}}l|Sc|Sc|Sc|}\hline
            Gain $x_i$ & -3 & 2 & 5  \\\hline
            $P(X=x_i)$ & 0,64 & 0,35 & 0,01\\\hline
            \end{tabular}
            \end{center}

      \item L'espérance de $X$ est: 
            \[
            E(X)=-3\times0,64+2\times0,35+5\times0,01
            =-1,17.
            \]
            On en déduit que ce jeu n'est pas équitable: 
            en moyenne, le joueur peut s'attendre à perdre 1,17 euros
            par partie. 

            La variance de $X$ est: 
            \[\begin{aligned}
            V(X)
            &=(-3+1,17)^2\times0,64+(2+1,17)^2\times0,35\\
            &\hspace{1cm}+(5+1,17)^2\times0,01\\
            &\approx 6,04.
            \end{aligned}\]
            D'où son écart type: 
            \[
            \sigma(X)=\sqrt{V(X)}\approx 2,46.
            \]

      \item On remarque que l'on passe de la variable aléatoire $X$ à
            la variable aléatoire $Y$ par la relation affine: 
            \[
            Y=2X+1.
            \]
La loi de probabilité de $Y$ est alors:
\begin{center}
            \begin{tabular}{|>{\columncolor{numpagecorrige}\color{pagecorrige}}l|Sc|Sc|Sc|}\hline
            Gain $y_i$ & -5 & 5 & 11  \\\hline
            $P(X=y_i)$ & 0,64 & 0,35 & 0,01\\\hline
            \end{tabular}
            \end{center}

           La formule du cours  sur l'espérance donne:
            \[
            E(Y)=E(2X+1)=2E(X)+1=-1,34.
            \]

            Pour la variance  et l'écart-type, on fait le calcul suivant:
            \begin{align*}
            V(Y) & = 0,64(-5+1,34)^2+0,35(5+1,34)^2+0,01(11+1,34)^2\\
            & =24,1644. \end{align*}
            
            Par conséquent, $\sigma(Y)=\sqrt{V(Y)}\approx 4,92$.
      \end{enumerate}
\end{enumerate}
