On lance un dé tétraédrique dont les quatre faces portent les chiffres
1, 2, 3 et 4.  On lit le résultat d'un lancer sur la face cachée du dé. 

On note $p_i$ la probabilité d'obtenir le chiffre $i$ suite à un
lancer de ce dé. 

Le dé est déséquilibré de telle sorte que ces probabilités sont: 
\[
p_1=0,1 \ ; p_2=0,2\ ; p_3=0,3 \ ; p_4=0,4\ .
\]

On lance deux fois successivement ce dé. 
On suppose que les lancers sont indépendants entre eux. 

\begin{enumerate}
\item Dresser un arbre pondéré décrivant l'expérience. 
\item Quelle est la probabilité d'obtenir les chiffres 1 et 3 dans cet
      ordre ? 
\item Quelle est la probabilité d'obtenir deux chiffres 
      distincts rangés par ordre croissant ?

\item On instaure la règle suivante: 
      si un joueur lançant deux fois successivement ce dé obtient
      deux chiffres distincts rangés par ordre croissant il gagne 2
      euros, si il obtient deux fois le chiffre 1 il gagne 5
      euros, tandis que, dans tous les autres cas, il perd 3 euros. 

      On note $X$ la variable aléatoire égale au gain du joueur. 
      \begin{enumerate}
      \item Déterminer la loi de probabilité de $X$. 
      \item Déterminer l'espérance et l'écart type de $X$. 

      Ce jeu est-il équitable ?

      \item On modifie la  valeur des gains de la manière suivante: 
      si on obtient deux chiffres distincts rangés par ordre
      croissant on gagne 5 euros, si on obtient deux fois le 
      chiffre 1 on gagne 11 euros, et sinon, dans tous les autres cas,
      on perd 5 euros. 

      On note $Y$ la variable aléatoire égale au gain du joueur avec
      cette nouvelle règle. 

      Déterminer l'espérance et l'écart type de $Y$.
      \end{enumerate}
\end{enumerate}
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