
\begin{enumerate}
\item $X$ est la variable aléatoire représentant le nombre de points à l'issue de la première manche.

Il y a 4 boules portant un numéro multiple de 5 : 5, 10, 15 et 20.

Notons $A$ l'événement : \og la boule porte le numéro 5, 10, 15 ou 20 \fg.

Pour la première boule, il y a 4 chances sur 20 de choisir une boule dont le numéro est un multiple de 5, donc $P(A)=\dfrac{4}{20}=\dfrac{1}{5}$. 

En revanche, pour la seconde boule, il ne reste plus que 19 boules. 

Donc si l'événement $A$ est réalisé pour la première boule, il reste 3 boules adéquates pour la seconde, d'où une probabilité de $\dfrac{3}{19}$. 

Un raisonnement analogue nous donne les autres probabilités.

On peut alors représenter la situation avec l'arbre  suivant:

\begin{center}
\includegraphics{sommevar-01}
\end{center}



On peut alors donner la loi de probabilité de $X$ sous forme d'un tableau:

\begin{center}
\begin{tabular}{|>{\columncolor{numpagecorrige}\color{pagecorrige}}l|Sc|Sc|Sc|}
\hline
$X=k$ & 0 & 20 & 40\\
\hline
$P(X=k)$ & $\dfrac{4}{5}\times\dfrac{15}{19}=\dfrac{12}{19}$ & $1-\dfrac{12}{19}-\dfrac{3}{95}=\dfrac{32}{95}$ & $\dfrac{1}{5}\times\dfrac{3}{19}=\dfrac{3}{95}$ \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
Ainsi,
\[
E(X)=20\times\dfrac{32}{95} + 40\times\dfrac{3}{95}=8.
\]

\item On peut illustrer la situation à l'aide d'un arbre:

\begin{center}
\includegraphics{sommevar-02}
\end{center}

À l'aide du principe multiplicatif, on obtient alors la loi de probabilité de $Y$ suivante:

\begin{center}
\begin{tabular}{|>{\columncolor{numpagecorrige}\color{pagecorrige}}l|*{8}{Sc|}}
\hline
$Y=k$ & 0 & 5 & 15 & 25 & 35 & 40 & 45 & 80\\
\hline
$P(Y=k)$ & $\dfrac{8}{19}$ & $\dfrac{4}{19}$ & $\dfrac{32}{285}$ & $\dfrac{32}{285}$ & $\dfrac{1}{95}$ & $\dfrac{32}{285}$ & $\dfrac{1}{95}$ & $\dfrac{1}{95}$\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
On a ainsi:
\[
E(Y) = 5\times\dfrac{4}{19} + \cdots + 80\times\dfrac{1}{95}=\dfrac{668}{57}.
\]

\item Par définition,
\[
G = 100Y
\]
donc:
\begin{align*}
E(G) & = E(100Y)\\
& = 100E(Y)\\
& = \dfrac{\numprint{66800}}{57}\\
& \approx\numprint{1172}.
\end{align*}

L'organisateur ou l'organisatrice de ce jeu peut donc espérer perdre en moyenne \numprint{1172}~\euro... s'il programme un grand nombre de fois le jeu.


\item $Z \hookrightarrow \mathcal{B}(5;0,2)$ donc $E(Z)=5 \times 0,2 = 1$, ce qui signifie qu'en moyenne, la personne répond correctement à une seule question, et donc qu'il ou elle perd en moyenne 800~\euro.

Ainsi, le gain moyen final est:
\[
E(G)-800\approx\numprint{1172}-800\approx 372\text{ \euro}.
\]

\begin{rem}
On peut aussi s'intéresser à l'écart-type. Si on note $F$ la variable aléatoire représentant le gain final, 
\[
F = E(G)-200Z.
\]
Ainsi, 
\begin{align*}
\sigma(F) & = \sigma\big(E(G) - 200Z\big)\\
& = 200\sigma(Z)\\
& =200\sqrt{5\times 0,2\times(1-0,2)}\\
& \approx178,88.
\end{align*}
Cette valeur est assez conséquente par rapport à $E(F)\approx372$.
\end{rem}
\end{enumerate}
