Un jeu télévisé se déroule en deux manches:
\begin{itemize}
\item \textit{Première manche.}

Une personne tire au hasard et simultanément deux boules d'une urne contenant 20 boules numérotées de 1 à 20. Si une boule portant un numéro multiple de 5 est choisie, 20 points sont gagnés; dans le cas contraire, aucun point n'est gagné.

\item \textit{Seconde manche.}

La personne doit ouvrir une porte parmi trois portes fermées. Seule l'une d'elles peut multiplier par 2 les gains gagnés lors de la première manche. L'une des deux autres permet d'ajouter 5 points; quant à l'autre, elle retire 5 points si les gains de la première manche sont supérieurs ou égaux à 5. Sinon, rien n'est retiré.
\end{itemize}

À l'issue de ces deux manches, chaque point vaut 100 \euro.

\medskip

On appelle $G$ le gain de la personne participant au jeu.

\begin{enumerate}
\item On appelle $X$ la variable aléatoire représentant le nombre de points à l'issue de la première manche. Déterminer la loi de probabilité de $X$, puis calculer $E(X)$.

\item On note $Y$ la variable aléatoire représentant le gain algébrique des points à l'issue de la seconde manche.

Déterminer la loi de probabilité de $Y$ ainsi que $E(Y)$.

\item Calculer $E(G)$.


\item À l'issue de ces deux manches, la personne doit participer à la manche finale qui consiste à répondre à cinq questions de culture générale. À chaque mauvaise réponse, il ou elle perd 200 \euro sur les gains obtenus précédemment.

On note $Z$ la variable aléatoire représentant le nombre de bonnes réponses d'une personne lors de cette manche finale.

La société productrice du jeu estime que $Z$ suit la loi binomiale de paramètres $n=5$ et $p=0,2$.

Déterminer le gain que peut espérer avoir la personne à l'issue de cette finale.
\end{enumerate}

