
\begin{enumerate}
\item Soit $k$ un entier naturel compris entre 1 et $n$.

L'événement \og $X = k$ \fg{} est obtenu si $k-1$ épreuves se sont terminées par un échec, de probabilité $1-p$, et que la $k$-ième épreuve s'est terminée par un succès.

D'après le principe multiplicatif, on a alors:
\[
P(X = k) = \underbrace{(1-p) \times (1-p) \times \cdots \times (1-p)}_{(k-1)\text{ facteurs}} \times p =p(1-p)^{k-1}.
\]

\item $\begin{aligned}[t]
\esp{X} & = \sum_{k=1}^{+\infty} k \times P(X=k)\\
& = \sum_{k=1}^{+\infty} kp(1-p)^{k-1}\\
& = p\sum_{k=1}^{+\infty} k(1-p)^{k-1}\\
& = p \times \dfrac{1}{\big[1-(1-p)\big]^2}\qquad\text{car }\displaystyle\sum_{k=1}^{+\infty} kx^{k-1}=\dfrac{1}{(1-x)^2}\\
& = p \times\dfrac{1}{p^2}\\
\Aboxed{\esp{X} & = \dfrac{1}{p}}
\end{aligned}$

\begin{rem}
Nous manipulons ici une somme infinie car il se peut que le succès n'arrive jamais, et donc que le nombre d'épreuves soit infini.
\end{rem}

\item $X$ suit clairement une loi géométrique de paramètre $p=\dfrac{5}{20}=0,25$.

Donc $\esp{X}=\dfrac{1}{p}=4$. Cela signifie qu'il faudra choisir en moyenne 4 boules pour obtenir finalement une noire. 
\end{enumerate}
