Lors d'un jeu radiodiffusé, on estime que le candidat, quelle que soit la question posée, a deux chances sur trois de donner la bonne réponse. Il gagne 50~euros par réponse exacte.

L'animateur du jeu lui pose successivement cinq questions.

\begin{enumerate}
\item Calculer la probabilité que le candidat ait cinq bonnes réponses.
\item Quelle est la probabilité que le candidat gagne 250 euros ?
\item Soit $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre de réponses exactes au bout des cinq questions. Quelle est la loi de probabilité suivie par $X$ ? Justifier la réponse.
\item Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire $Y$ qui compte le gain total du joueur.
\item Calculer l'espérance de gain du joueur.
\end{enumerate}

