Soit $X$ une variable aléatoire réelle. On suppose que $X$ admet une espérance $E(X)=\mu$ et une variance $V(X)=\sigma^2$. Soit $a>0$.
\begin{enumerate}
\item Soit $\lambda \geqslant 0$. Démontrer que $P(X-\mu \geqslant a) = P(X-\mu +\lambda \geqslant a+\lambda)$.
\item Vérifier que $E\big( (X-\mu+\lambda)^2\big) =\sigma^2 + \lambda^2$.
\item Montrer que pour tout $\lambda > 0$, $P(X-\mu \geqslant a) \leqslant \dfrac{\sigma^2+\lambda^2}{(a+\lambda)^2}$.
\medskip
\textit{Aide :} on pourra utiliser le fait que $P( Z \geqslant \alpha) \leqslant P(Z^2 \geqslant \alpha^2)$ pour toute variable aléatoire $Z$.

\item En déduire que $P\big( |X-\mu| \geqslant a \big) \leqslant \dfrac{2\sigma^2}{a^2+\sigma^2}$.

\item Pour quelles valeurs de $a$ obtient-on une meilleure inégalité que l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev ?
\end{enumerate}
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