
Par définition, $Y$ est une variable aléatoire à valeurs positives et:

\[
E(Y) = E\big[ (X-E(X)^2 \big] = V(X).
\]

L'inégalité de Markov appliquée à $Y$ donne alors:

\begin{align*}
& \forall a>0,\qquad P(Y \geqslant a) \leqslant \dfrac{E(Y)}{a}\\[6pt]
\iff & \forall a>0,\qquad P\Big( \big(X-E(X)\big)^2 \geqslant a\Big) \leqslant \dfrac{V(X)}{a}.
\end{align*}

Posons alors $a=\delta^2$ avec $\delta>0$. On obtient alors:

\[
\forall \delta >0,\qquad P\Big( \big(X-E(X)\big)^2 \geqslant \delta^2\Big) \leqslant \dfrac{V(X)}{\delta^2}.
\]

Or, 

\[
\big(X-E(X)\big)^2 \geqslant \delta^2 \iff \big| X-E(X)\big| \geqslant \delta
\]
car $\delta > 0$. Cela donne alors:
\[
\forall \delta >0,\qquad P\Big( \big| X-E(X)\big| \geqslant \delta \Big) \leqslant \dfrac{V(X)}{\delta^2}.
\]
