
\begin{enumerate}
\item \textit{Faux}. Selon l'inégalité de Markov, $P(X \geqslant a) \leqslant \dfrac{E(X)}{a}$, ce qui donne dans notre cas:
\[
P(X \geqslant 10) \leqslant \dfrac{9}{10}.
\]

\item \textit{Vrai}. En effet, d'après l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, 
\[
P\big( | X-E(X)| \geqslant \delta \big) \leqslant \dfrac{V(X)}{\delta^2}
\]
ce qui donne dans notre cas:
\[
P\big( | X - 7| \geqslant 18 \big) \leqslant \dfrac{9}{18^2}
\]
soit:
\[
P\big( | X - 7| \geqslant 18 \big) \leqslant \dfrac{1}{36} < 0,028.
\]

%\item \textit{Faux}. Notons $X_k$ le nombre de points lors du $k$-ième tirage. $X_k = 0$ ou $X_k = 1$. C'est une variable de Bernoulli. En répétant cette expérience (implicitement de manière indépendante), on constitue un schéma de Bernoulli dont la moyenne est :
%
%\medskip
%
%\[
%\mu = np=\numprint{1000}\times\dfrac{4}{32}=125
%\] 
%
%\medskip
%
%et de variance $\sigma^2=np(1-p)=109,375=\dfrac{875}{8}$. D'après l'inégalité de concentration,
%
%\medskip
%
%\[
%P\left(\left|\dfrac{X_1+\cdots+X_n}{n}-\mu\right| \geqslant \delta\right) \leqslant\dfrac{\sigma^2}{n\delta^2}\,,
%\]
%
%\medskip
%
%ce qui donne dans notre cas, en prenant $\delta=5$:
%
%\medskip
%
%\[
%P\left(\left|\dfrac{X_1+\cdots+X_n}{n}-125\right| \geqslant 5\right) \leqslant\dfrac{109,375}{\numprint{1000}\times5^2}
%\]
%
%soit :
%
%\[
%P\left(\left|\dfrac{X_1+\cdots+X_n}{n}-125\right| \geqslant 5\right) \leqslant 0,004375.
%\]
%
%On ne peut donc pas assurer que la probabilité pour que la différence entre la moyenne des gains et 125 soit supérieure ou égale à 5 est toujours inférieure à 0,001.
\end{enumerate}
