
\begin{enumerate}
\item La dérivée de $f$ est : $f'(x)=3\times3x^2-5\times2x+0$, soit:
\[
\boxed{f'(x)=9x^2-10x}
\]

\item L'équation de $(T)$, tangente à $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse $-1$ est:
\[
y=f'(-1)(x-(-1)) + f(-1).
\]
Or,
\[
f(-1)=3(-1)^3-5(-1)^2+2=-3-5+2=-6
\]
et
\[
f'(-1)=9(-1)^2-10(-1)=9+10=19.
\]
Ainsi,
\[
(T)\;:\;y=19(x+1)-6
\]
soit:
\[
\boxed{(T)\;:\;y=19x+13}
\]

\item
\begin{enumerate}
\item Calculons, pour tout nombre réel $x$:
\begin{align*}
f(x)-g(x) & = 3x^3-5x^2+2-(3x^3-4x+1)\\
& = 3x^3-5x^2+2-3x^3+4x-1\\
\Aboxed{f(x)-g(x) & = -5x^2+4x+1}.
\end{align*}

\item $f(x)-g(x)$ est un trinôme du second degré, dont le discriminant est:
\begin{align*}
\Delta & = b^2-4ac\\
& = 4^2 - 4\times(-5)\times1\\
& = 16 + 20\\
\Delta & = 36.
\end{align*}

$\Delta > 0$ donc $f(x)-g(x)$ admet deux racines réelles distinctes:

\vspace*{-1.5em}
\begin{multicols}{2}
\begin{align*}
x_1 & = \dfrac{-b-\sqrt\Delta}{2a}\\
& = \dfrac{-4-\sqrt{36}}{2\times(-5)}\\
& = \dfrac{-4-6}{-10}\\
& = 1
\end{align*}

\columnbreak

\begin{align*}
x_2 & = \dfrac{-b+\sqrt\Delta}{2a}\\
& = \dfrac{-4+\sqrt{36}}{2\times(-5)}\\
& = \dfrac{-4+6}{-10}\\
& = -\dfrac{1}{5}.
\end{align*}
\end{multicols}

\begin{rem}
On aurait aussi pu remarquer que la somme des coefficients est nulle, et donc que $x_1=1$ est une racine évidente; avec la formule $x_1x_2=\dfrac{c}{a}$, on déduit $x_2=-\dfrac{1}{5}$.
\end{rem}

\newpage
On en déduit alors le tableau de signes suivant:

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\node[inner sep = 0pt, outer sep = 0pt] (tab) {
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=3,color,colorC=corrigenumbg!20,colorV=corrigenumbg!20,colorL=corrigenumbg!20]{$x$/0.75,$f(x)-g(x)$/0.75}{$-\infty$,$-\frac{1}{5}$,$1$,$+\infty$}
\tkzTabLine{,-,z,+,z,-}
\end{tikzpicture}};
\drawshadow{tab}{black}
\end{tikzpicture}
\end{center}

\item Du tableau de signes précédent, on peut conclure que:
\begin{itemize}
\item sur \intervOO{-\dfrac{1}{5}}{1}, $f(x)-g(x)>0$ et donc $f(x)>g(x)$ ce qui signifie que $\mathcal{C}_f$ est au-dessus de $\mathcal{C}_g$;

\bigskip

\item sur \intervOO{-\infty}{-\dfrac{1}{5}} et sur \intervOO{1}{+\infty}, $f(x)-g(x)<0$ et donc $f(x)<g(x)$ ce qui signifie que $\mathcal{C}_f$ est en dessous de $\mathcal{C}_g$.
\end{itemize}
\end{enumerate}
\end{enumerate}
